Encontre os quatro primeiros termos da série binomial para as funções nos Exercícios 1-10.

(1 + x / 2)^(-2)

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

A primeira coisa, é enxergar essa questão na forma natural para aplicarmos à equação. Tranquilo! Pois é equivalente dizer que:

1 + x 2 - 2 = 1 + 1 2 x - 2

É notório, a partir das definições para séries binomiais, que o exponencial da nossa função (chamado m ), quando é constante, tende a obedecer à seguinte regra:

Para:

f x = 1 + x m

Tem-se

f x = 1 + m x + m ( m - 1 ) 2 ! x 2 + m ( m - 1 ) ( m - 2 ) 3 ! x 3 + …

Obs.: Inverte-se o sinal caso dentro do parêntese existam valores negativos.

Obs. 2: Adapta-se a regra incluindo qualquer coeficiente multiplicador de x, cada vez que ele aparece na equação.

Passo 2

Nesse caso, temos m = - 2 , portanto poderemos começar a calcular seus termos:

1 + x 2 - 2 = 1 - 2 1 2 x + - 2 - 2 - 1 2 ! 1 2 x 2 + - 2 - 2 - 1 - 2 - 2 3 ! 1 2 x 3 + …

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos que:

1 + x 2 - 2 = 1 - x + 3 4 x 2 - 1 2 x 3 + …

Resposta

1 + x 2 - 2 = 1 - x + 3 4 x 2 - 1 2 x 3 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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