Encontre os quatro primeiros termos da série binomial para as funções nos Exercícios 1-10.

(1 + 1/x)^(1/2)

Passo 1

Falaaa meus queridos! Tudo bom com vocês? Eu espero que sim! Vamos lá detonar mais uma questãozinha!

Primeira coisa é enxergamos que da pra manipular essa função para ficar no formato aplicável da regra abaixo, pois:

1 + 1 x 1 / 2 = 1 + x - 1 1 / 2

É notório, a partir das definições para séries binomiais, que o exponencial da nossa função (chamado m ), quando é constante, tende a obedecer à seguinte regra:

Para:

f x = 1 + x m

Tem-se

f x = 1 + m x + m ( m - 1 ) 2 ! x 2 + m ( m - 1 ) ( m - 2 ) 3 ! x 3 + …

Obs.: Inverte-se o sinal caso dentro do parêntese existam valores negativos.

Obs. 2: Adapta-se a regra incluindo qualquer coeficiente multiplicador de x, cada vez que ele aparece na equação.

Obs. 3: Adapta-se a regra incluindo qualquer exponencial que exista de x, cada vez que ele aparece na equação.

Passo 2

Nesse caso, temos m = 1 / 2 , portanto poderemos começar a calcular seus termos:

1 + 1 x 1 / 2 = 1 + 1 2 1 x + 1 2 - 1 2 2 ! 1 x 2 + 1 2 - 1 2 - 3 2 3 ! 1 x 3 + …

Passo 3

Simplificando matematicamente, temos que:

1 + 1 x 1 / 2 = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 + …

Resposta

1 + 1 x 1 / 2 = 1 + 1 2 x - 1 8 x 2 + 1 16 x 3 + …

Valeu galera! Nos vemos na próxima questão!

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