Enunciado
Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 4.6 - Ex. 58
A cadeia Mega Motel, com capacidade de quartos, fica lotada quando o custo do quarto é de por noite. Para cada aumento de no custo do quarto, quartos a menos ficam ocupados a cada noite. Que custo por apartamento resultará na receita máxima por noite?
Passo 1
Então galera, antes de pensarmos em receita máxima e afins, devemos estabelecer uma função para o custo por apartamento, ok? Vamos chamar de o aumento de no custo do quarto. Ademais, temos que o preço por noite, segundo o enunciado, é . O primeiro termo da nossa equação é . No entanto, o número de quartos preenchidos a cada noite pode ser dado por . Escrevendo a expressão, teremos:
Passo 2
Agora que encontramos uma expressão para o custo, para determinarmos uma receita máxima, devemos derivar essa função e igualar a zero para achar pontos críticos na função, saca só:
Para conferirmos se esse ponto de fato é um máximo, temos que utilizar a derivada segunda. Se o resultado da derivada segunda nesse ponto der positivo, então isso significa que é um ponto de mínimo (que não nos interessa). No entanto, se der negativo, então isso significa que é um ponto de máximo (que é o que nos interessa). Dessa forma, temos o seguinte:
Como deu um valor negativo nesse ponto, então realmente esse valor é um ponto de máximo! Portanto, o custo por apartamento resultará em: