Enunciado

Cálculo - Thomas - Vol 2- Ed: 12º - Capítulo 16.Questões para guiar sua revisão - Ex. 18

O que é o teorema da divergência? Como se pode interpretá-lo?

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Algumas questões são norteadoras em nossos estudos. Por exemplo, você sabe o que é o teorema da divergência? Sabe como podemos interpretá-lo? Acompanhe a explicação dada a seguir!

Passo 2

Grave bem: o teorema da divergência diz que:Seja um vetor de campo cujas componentes possua as primeiras derivadas parciais contínuas, e seja S uma função suave por partes orientada em uma superficie fechada. O fluxo de através na direção do vetor normal de campo de saída é igual a integral de sobre a região delimitada pela superfície:

Passo 3

Com essa equação, podemos encontrar o fluxo de saída por meio da integração de divergências. Fique atento!

Resposta

Resposta nos passos.

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12 . a . Sejam u e v dois campos vetoriais de classe C1 em ℝ 3 ; seja B uma esfera com fronteira σ e normal exterior . Suponha que r o tu =r o tved i vu =d i vv . Suponha, ainda, que u · v=v · u sobre

9. Seja Ω um aberto de ℝ 3 e seja u um campo vetorial de classe C1 em Ω. Suponha que ∫ ∫ σ u → ⋅ n →d S = 0 para toda superfície esférica σ, com normal exterior u , contida em Ω. Prove, então, que u é

5. Seja v → um campo vetorial de classe C1 no aberto Ω = ℝ3 - {(0, 0, 0),(1, 1, 1)} e tal que div v → = 0 em Ω. Sejam σ 1e σ 2 superfícies esféricas de centros (0, 0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente,

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provea. ∫ ∫ σ ∂ g ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B ∇ 2 gd V

11. Sejam f, g : Ω ⊂ ℝ3 → ℝ de classe C2 no aberto Ω. Seja B ⊂ Ω uma esfera e seja σ a fronteira de B, com normal exterior . Provec. ∫ ∫ σ f ∂ f ∂ n d S = ∫ ∫ ∫ B f ∇ 2 f + ∇ f 2d V