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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 19

Calcule a integral indefinida

int (d x)/(sqrt(15 + 2 x - x^2))

Passo 1

int (d x)/(sqrt(15 + 2 x - x^2))

Temos um polinômio doidão ali no denominador, a boa aqui é tentar achar algo da forma

1 - a^2

Ou

a^2 - 1

Como o termo x^2 está com o - 1 , vamos procurar a primeira forma: 1 - a^2

Mas como vamos fazer isso? COmpeltando quadrados, claro quem nunca pensou nisso? Hahahah

Vou te mostrar com bastante calma como faz isso:

15 + 2 x - x^2

Primeiro colocamos o - 1 em evidência

15 + 2 x - x^2 = 15 - (x^2 - 2 x)

Vamos olhar so p x^2 - 3 x , ele deve ficar parecido com a^2 - 2 a b + b^2 .

a^2 - 2 a b + b^2 = (a - b)^2

Comaprando, teremos

a = x

b = 1

Agora, temos que somar e subtrair - b^2 , porque o trinômio está sendo todo multiplicado por - 1 , que achamos da equação original

15 - (x^2 - 2 x) = 15 + 1 - (x^2 - 2 x + 1) = 16 - (x - 1)^2

A nossa integral fica:

int (d x)/(sqrt(15 + 2 x - x^2)) = int (d x)/(sqrt(16 - (x - 1)^2))

Passo 2

int (d x)/(sqrt(16 - (x - 1)^2))

Quando temos uma raiz quadrada no denominador, precisamos dar uma manipulada para que apareça algo dessas formas:

sqrt(x^2 - 1)

sqrt(1 - x^2)

Para que possamos usar as derivadas das funções trigonométricas inversas

Primeiro, vamos colocar o 16 em evidência dentro da raiz:

16 - (x - 1)^2 = 16 (1 - ((x - 1)^2)/(16))

Temos algo parecido, o que vamos precisar fazer é a substituição

((x - 1)^2)/(16) = y^2 -> y = (x - 1)/(2)

Além disso:

d y = (d x)/(2) -> d x = 2 d y

Substituindo na integral:

int (d x)/(sqrt(16 - (x - 1)^2)) = int (d x)/(sqrt(1 6 (1 - ((x - 1)^2)/(16)))) = int (2 d y)/(sqrt(16 (1 - y^2)))

= int (2 d y)/(sqrt(16) sqrt((1 - y^2))) = int (2 d y)/(4 sqrt((1 - y^2))) = int (d y)/(2 sqrt((1 - y^2)))

Essa é integra é sen^(- 1) y , então vamos ter:

int (d y)/(2 sqrt((1 - y^2))) = (1)/(2) sen^(- 1) y + C

Voltando para x

(1)/(2) sen^(- 1) y + C = (1)/(2) sen^(- 1) (x - 1)/(2) + C

Resposta

(1)/(2) sen^(- 1) (x - 1)/(2) + C

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