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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.4 - Ex. 33

Prove:

int c o s e c h u . d u = ln | t g h (u)/(2) | + c

Passo 1

Para provar a igualdade precisamos lembrar que:

c o s e c h u = (1)/(s e n h u)

s e n h 2 u = 2 . s e n h u . cosh u

Então:

int c o s e c h u . d u = int (1)/(s e n h u) . d u = int (1)/(2 . s e n h (u)/(2) . cosh (u)/(2)) . d u

Reorganizando:

int c o s e c h u . d u = (1)/(2) int ((1)/(cosh ² (u)/(2)))/((s e n h (u)/(2))/(cosh (u)/(2))) . d u = (1)/(2) int (s e c h ² (u)/(2))/(t g h (u)/(2)) . d u

Fazendo

x = t g h (u)/(2)

d x = (1)/(2) s e c h ² (u)/(2) d u

int c o s e c h u . d u = int (d x)/(x) = ln x

Substituindo novamente:

int c o s e c h u . d u = ln | t g h (u)/(2) |

Concluindo:

int c o s e c h u . d u = ln | t g h (u)/(2) | + c

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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