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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 39

Resolve a integral abaixo:

39 –

int_(- pi // 3)^0 2 sec^3 x d x

Passo 1

2 int_(- pi // 3)^0 sec^3 x d x

Vamos resolver a integral indefinida de:

int sec^3 x d x

Utilizando a fórmula:

int sec^n x d x = (1)/(n - 1) * sec^(n - 2) x * t g ( x ) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

Substituindo na fórmula teremos:

int sec^3 x d x = (1)/(3 - 1) * sec^(3 - 2) x * t g ( x ) + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) x d x

Resolvendo:

(1)/(2) * sec^1 x * t g ( x ) + (1)/(2) int sec x d x

Passo 2

Seja:

int sec x d x = ln [|sec (x) + t g ( x )|]

Assim:

(1)/(2) * sec^1 x * t g ( x ) + (1)/(2) ln [|sec (x) + t g ( x )|]

Passo 3

Resolvendo a integral com os limites de integração:

2 [(1)/(2) * sec x * t g (x) + (1)/(2) ln [|sec (x) + t g ( x )|]]_(- (pi)/(3))^0

Substituindo com os limites:

2 ([(1)/(2) * sec (0) * t g (0) + (1)/(2) ln [|sec (0) + t g (0)|]] - [(1)/(2) * sec (- (pi)/(3)) * t g (- (pi)/(3)) + (1)/(2) ln [|sec (- (pi)/(3)) + t g (- (pi)/(3))|]])

Seja:

sec ( 0 ) = 1 ; sec (- (pi)/(3)) = 2 ; t g (0) = 0 ; t g (- (pi)/(3)) = - sqrt(3) ; ln 1 = 0

Substituindo:

2 ([(1)/(2) * 1 * 0 + (1)/(2) ln [|1 + 0|]] - [(1)/(2) * 2 * - sqrt(3) + (1)/(2) ln [|2 - sqrt(3)|]])

2 (- [- sqrt(3) + (1)/(2) ln [|2 - sqrt(3)|]]) = 2 (sqrt(3) - (1)/(2) ln [|2 - sqrt(3)|])

Multiplicando por 2:

2 sqrt(3) - ln [|2 - sqrt(3)|]

Resposta

2 sqrt(3) - ln [|2 - sqrt(3)|]

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