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Enunciado

Cálculo - Cálculo - 12ª Edição - Maurice D. Weir e Joel Hass (George B. Thomas)- Ed: 12º - Capítulo 8.2 - Ex. 40

Resolve a integral abaixo:

40 –

int e^x sec^3 (e^x) d x

Passo 1

Utilizando o método de substituição udu:

u = e^x

d u = e^x

d x = (1)/(d u) = (1)/(e^x)

Subsittuindo na integral:

int e^x sec^3 (u) * (1)/(e^x) d u = int (e^x)/(e^x) * sec^3 (u) d u = int sec^3 (u) d u

Passo 2

Utilizando a fórmula:

int sec^n x d x = (1)/(n - 1) * sec^(n - 2) x * t g (x) + (n - 2)/(n - 1) int sec^(n - 2) x d x

Substituindo na Integral:

int sec^3 (u) d u = (1)/(3 - 1) * sec^(3 - 2) (u) * t g (u) + (3 - 2)/(3 - 1) int sec^(3 - 2) u d u

Resolvendo temos:

int sec^3 (u) d u = (1)/(2) * sec (u) * t g (u) + (1)/(2) int sec ( u ) d u

Seja:

int sec (u) d u = ln (|sec u + t g u|)

Assim:

(1)/(2) sec (u) * t g (u) + (1)/(2) ln (|sec u + t g u|)

Passo 3

Substituindo para u = e^x

(1)/(2) sec (e^x) * t g (e^x) + (1)/(2) ln (|sec (e^x) + t g (e^x)|)

Colocando (1)/(2) em evidência temos:

(1)/(2) (sec (e^x) t g (e^x) + ln (|sec (e^x) + t g ( e^x )|)) + c

Resposta

(1)/(2) (sec (e^x) t g (e^x) + ln (|sec (e^x) + t g ( e^x )|)) + c

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