Resolve a integral abaixo:

40 –

∫ e x sec 3 ⁡ e x   d x

Passo 1

Utilizando o método de substituição udu:

u = e x

d u = e x

d x = 1 d u = 1 e x

Subsittuindo na integral:

∫ e x sec 3 ⁡ u ⋅ 1 e x d u = ∫ e x e x ⋅ sec 3 ⁡ u   d u =   ∫ sec 3 ⁡ u d u

Passo 2

Utilizando a fórmula:

∫ sec n ⁡ x   d x = 1 n - 1 ⋅ sec n - 2 ⁡ x ⋅ t g   x + n - 2 n - 1 ∫ sec n - 2 ⁡ x   d x

Substituindo na Integral:

∫ sec 3 ⁡ u d u = 1 3 - 1 ⋅ sec 3 - 2 ⁡ u ⋅ t g u + 3 - 2 3 - 1 ∫ sec 3 - 2 ⁡ u   d u

Resolvendo temos:

∫ sec 3 ⁡ u d u = 1 2 ⋅ sec ⁡ u ⋅ t g   u + 1 2 ∫ sec ⁡ ( u )   d u

Seja:

∫ sec ⁡ u d u = ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u

Assim:

1 2 sec ⁡ u ⋅ t g u + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ u + t g   u

Passo 3

Substituindo para u = e x

1 2 sec ⁡ e x ⋅ t g e x + 1 2 ln ⁡ sec ⁡ e x + t g e x

Colocando 1 2 em evidência temos:

1 2 sec ⁡ e x t g   e x + ln ⁡ sec ⁡ e x + t g   ( e x ) + c

Resposta

1 2 sec ⁡ e x t g   e x + ln ⁡ sec ⁡ e x + t g   ( e x ) + c

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