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Enunciado

Cálculo - Cálculo com Geometria Analítica Volume 1 - 3ª Edição - Louis Leithold- Ed: 3º - Capítulo 8.3 - Ex. 33

Nos Exercícios de 26 a 34, calcule a integral definida.

3 3 )   ∫ 1 e d x x [ 1 + ( ln ⁡ x ) ² ]  

Passo 1

Segundo o Teorema 8.3.1 as integrais das funções trigonométricas são dadas em função de u ² . Sendo assim, podemos colocar a integral em função de algum u ² . Para

∫ 1 e d x x [ 1 + ( ln ⁡ x ) ² ]  

Podemos assumir que:

u = ln ⁡ x

Se isolarmos x:

e u = x

Derivando em ambos os lados:

e u d u = d x

Substituindo e mudando os intervalos de integração:

∫ 1 e d x x [ 1 + ( ln ⁡ x ) ² ]   = ∫ 0 1 e u d u e u [ 1 + u ² ] = ∫ 0 1 d u 1 + u ²

Pelo mesmo Teorema:

∫ 0 1 d u 1 + u ² = tg - 1 ⁡ u | 1 0 + C = t g 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ 0 + C

Passo 2

Usando a calculadora:

t g 1 ⁡ 1 - tg - 1 ⁡ 0 + C = π 4 - 0 = π 4 + C

Resposta

∫ 1 e d x x [ 1 + ( ln ⁡ x ) ² ] = π 4 + C

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