Calcula a integral

∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 t   d t

Passo 1

Beleza, meu nobre? Vamos resolver essa integral aqui eu e você.

Aqui temos uma integral de uma função trigonométrica, nesses casos uma dica que eu dou é buscar modificar a função utilizando identidades trigonométricas. Muitas vezes isso abre possibilidades de utilizarmos uma substituição que irá facilitar e muito nossas vidas.

Passo 2

Vamos reescrever a nossa integral para vê se dá uma melhorada nas ideias,

∫ 0 π cos 4 ⁡ 2 t   d t =   ∫ 0 π cos 2 ⁡ 2 t 2 d t

Usando a identidade cos 2 ⁡ x   = 1 2 1 + cos ⁡ 2 x

∫ 0 π cos 2 ⁡ 2 t 2 d t = ∫ 0 π 1 2 1 + cos ⁡ 4 t 2   d t = 1 4 ∫ 0 π 1 + 2 cos ⁡ 4 t + cos 2 ⁡ 4 t d t  

Passo 3

Sabendo que cos 2 ⁡ 4 𝑡 = 1 + cos ⁡ 8 𝑡 2

Agora podemos resolver nossa integral, as integrais restantes são integrais primitivas.

1 4 ∫ 0 𝜋   3 2 + 2 cos ⁡ 4 𝑡 + 1 2 cos ⁡ 8 𝑡 𝑑 𝑡 =

1 4 3 2 𝑡 + 1 2 𝑠 �� 𝑛   4 𝑡 + 1 16 𝑠 𝑒 𝑛   8 𝑡   0 𝜋

Aplicando os limites de integração,

1 4   3 2 𝜋 + 0 + 0   − 0 − 0 − 0 = 3 8 𝜋

Resposta

∫ 0 π cos 4 ⁡ ( 2 t )   d t =   3 8 π  

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