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Enunciado

Cálculo - James Stewart - Vol 1- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 9

Calcula a integral

int_0^(pi) cos^4 (2 t) d t

Passo 1

Beleza, meu nobre? Vamos resolver essa integral aqui eu e você.

Aqui temos uma integral de uma função trigonométrica, nesses casos uma dica que eu dou é buscar modificar a função utilizando identidades trigonométricas. Muitas vezes isso abre possibilidades de utilizarmos uma substituição que irá facilitar e muito nossas vidas.

Passo 2

Vamos reescrever a nossa integral para vê se dá uma melhorada nas ideias,

int_0^(pi) cos^4 (2 t) d t = int_0^(pi) [cos^2 (2 t)]^2 d t

Usando a identidade cos^2 x = (1)/(2) (1 + cos (2 x))

int_0^(pi) [cos^2 (2 t)]^2 d t = int_0^(pi) [(1)/(2) (1 + cos (4 t))]^2 d t = (1)/(4) int_0^(pi) [1 + 2 cos (4 t) + cos^2 (4 t)] d t

Passo 3

Sabendo que cos^2 (4 𝑡) = (1 + cos 8 𝑡)/(2)

Agora podemos resolver nossa integral, as integrais restantes são integrais primitivas.

(1)/(4) int_0^(𝜋) ((3)/(2) + 2 cos (4 𝑡) + (1)/(2) cos 8 𝑡) 𝑑 𝑡 =

(1)/(4) [(3)/(2) 𝑡 + (1)/(2) 𝑠 �� 𝑛 4 𝑡 + (1)/(16) 𝑠 𝑒 𝑛 8 𝑡]_0^(𝜋)

Aplicando os limites de integração,

(1)/(4) [((3)/(2) 𝜋 + 0 + 0) - 0 - 0 - 0] = (3)/(8) 𝜋

Resposta

int_0^(pi) cos^4 ( 2 t ) d t = (3)/(8) pi

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