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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.5 - Ex. 82

Calcule a integral

int (s e n x cos x)/(s e n^4 x + cos^4 x) d x

Passo 1

Boa galera, nesse exercício iremos utilizar as técnicas de integração estudadas e as estratégias abordadas nesse capítulo para resolver a integral.

Dessa forma, queremos encontrar o resultado para a integral da maneira mais prática de acordo com as técnicas de integração deste capítulo.

Como temos que integrar uma função trigonométrica, vamos aproveitar e utilizar das propriedades trigonométricas afim de simplificar a função.

Passo 2

Podemos reescrever a integral da seguinte maneira

int (s e n x cos x)/(s e n^4 x + cos^4 x) d x

Dividindo ambos por cos^4 x

= int (( s e n x cos x ) // cos^4 x)/(( s e n^4 x + cos^4 x ) // cos^4 x) d x

int ((s e n x cos x)/(cos^4 x))/(( s e n^4 x + cos^4 x ) // cos^4 x) d x

int ((s e n x)/(cos^2 x cos x))/(( s e n^4 x + cos^4 x ) // cos^4 x) d x

= int (tan x sec^2 x)/(tan^4 x + 1) d x

Passo 3

Utilizando a seguinte substituição, temos

u = tan^2 x ; d u = 2 tan x sec^2 x d x

int (tan x sec^2 x)/(tan^4 x + 1) d x = (1)/(2) int (1)/(u^2 + 1) d u

Resolvendo a integral com o auxílio da tabela abaixo:

(1)/(2) int (1)/(u^2 + 1) d u = (1)/(2) tan^(- 1) u + C

Voltando para x , temos

(1)/(2) tan^(- 1) u + C = (1)/(2) tan^(- 1) (tan^2 x) + C

Resposta

int (s e n x cos x)/(s e n^4 x + cos^4 x) d x = (1)/(2) tan^(- 1) (tan^2 x) + C

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