Um modelo para a concentração no instante t de uma droga injetada na corrente sanguínea é

C t = K e - a t - e - b t

Onde K ,   a ,   b são constantes positivas e b > a . Esboce o gráfico da função concentração. O que o gráfico nos diz sobre como a concentração varia conforme o tempo passa?

Passo 1

Eaeee, belezinha?

Bom, essa questão quer que esbocemos o gráfico da função concentração C no instante t de uma droga injetada na corrente sanguínea.

Para isso, o enunciado nos dá a seguinte expressão:

C t = K e - a t - e - b t

Onde K ,   a ,   b são constantes positivas e b > a .

Para podermos esboçar o gráfico, temos que ter alguma ideia sobre domínio, interceptações nos eixos e pontos de máximo e mínimo.

E aí?? Bora lá?? 😉

Passo 2

Perceba que o domínio da função são todos os reais positivos (o tempo é sempre positivo) e que o gráfico intercepta o eixo x e o y   quando x = 0 .

Além disso, sendo

C t = K e - a t - e - b t

calculando a primeira derivada obtemos pela regra da cadeia:

f ' x = -   K a e - a t - b e - b t

E lembrando que se a derivada for igual a zero, temos um ponto crítico que pode ser o valor máximo ou mínimo da função. Lembrando que

Então, fazendo

f ' x = 0

-   K a e - a t - b e - b t = 0

E isolando o t , temos:

t = ln ⁡ b a b - a

e

t = 0

Que são nossos pontos críticos.

Também olhando para o sinal da derivada, podemos concluir que:

E, f é crescente em

0 ,   ln ⁡ b a b - a

e decrescente em

ln ⁡ b a b - a ,   ∞

o que torna o nosso primeiro ponto crítico um máximo local.

Passo 3

Também podemos estudar a concavidade da função, usando a segunda derivada, pois se:

Então vem ver tudo isso. Derivando novamente a função, vamos obter:

f ' ' x =   - K a 2 e - a t - b 2 e - b t

E vemos que sempre teremos:

f ' ' x ≤ 0   .

O que nos remete a uma concavidade voltada para baixo.

Passo 4

Agora, juntando todas as informações que temos, vamos esboçar o gráfico da função.

Observando o gráfico, temos que a concentração tem um ápice, ou seja, um ponto de máximo, e em seguida começa a diminuir à medida que o tempo passa, chegando a tender a zero.

Entendeu direitinho?? Responde aee😉

Resposta

À medida que o tempo passa, a concentração tende a zero.

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