Calcule a integral.

∫ d t t 2 t 2 - 16

Passo 1

Opa! Bora fazer essa questão? Temos que calcular a seguinte integral:

∫ d t t 2 t 2 - 16

Para resolvermos essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. No nosso denominador temos uma expressão com essa carinha aqui:

x 2 - a 2

Concorda?!

Nesse tipo de caso podemos fazer o seguinte tipo de substituição:

x = a sec ⁡ θ

Para a nossa integral temos:

a 2 = 16

a = 4

Então usaremos a Regra da Substituição Simples usando a seguinte troca de variável:

t = 4 sec ⁡ θ

Eu sei isso não é nada intuitivo! Mas existe uma tabelinha no livro que nos indica as substituições que funcionam, aí pra prova o negócio é fazer bastante exercício pra você ser capaz de olhar pra integral e já identificar o tipo de substituição!

Passo 2

Agora vamos substituir t pela nova variável, precisamos derivar 4 sec ⁡ θ :

d d θ ( 4 sec ⁡ θ ) = 4 sec ⁡ θ t g θ d θ

Essa é uma derivada tabelada! Substituindo:

∫ 4 sec ⁡ θ t g θ d θ 4 sec ⁡ θ 2 4 sec ⁡ θ 2 - 16

-Tem certeza que esse é o caminho certo?! A integral ficou horrorosa!!!

Calma...calma, agora a gente vai usar a identidade trigonométrica:

1 + t g 2 θ = sec 2 ⁡ θ

Logo,

sec 2 ⁡ θ - 1 = t g 2 θ

Multiplicando por 16 dos dois lados:

16 sec 2 ⁡ θ - 16 = 16   t g 2 θ

Assim,

4 sec θ 2 ⁡ - 16 = 16   t g 2 θ

Então:

∫ 4 sec ⁡ θ t g θ d θ 4 sec ⁡ θ 2 16   t g 2 θ

Passo 3

Agora a gente simplifica:

∫ 4 sec ⁡ θ t g θ d θ 4 sec ⁡ θ 2 16   t g 2 θ = ∫ 4 sec ⁡ θ t g θ d θ 4 sec ⁡ θ 2 4 t g θ

= ∫ 1 16 × sec ⁡ θ d θ

1 16 ∫ 1 sec ⁡ θ d θ

Lembra que:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Então:

1 16 ∫ cos ⁡ θ d θ

E não é que a substituição ajudou?!

Passo 4

Agora vamos resolver e voltar pra variável original:

1 16 ∫ cos ⁡ θ d θ = 1 16 sin ⁡ θ + C

Lembrando que:

t = 4 sec ⁡ θ

Que é o mesmo que:

cos ⁡ θ = 4 t

Vamos precisar usar identidade trigonométrica de novo, agora usaremos:

s e n 2 θ + cos 2 ⁡ θ = 1

s e n 2 θ + 4 t 2 = 1

s e n 2 θ = 1 - 16 t 2

Temos:

s e n   θ = t 2 - 16 t

Finalmente chegamos em:

∫ d t t 2 t 2 - 16 = t 2 - 16 16 t

Uhuuuul!

Resposta

∫ d t t 2 t 2 - 16 = t 2 - 16 16 t

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