Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.3 - Ex. 8
Calcule a integral.
Passo 1
Opa! Bora fazer essa questão? Temos que calcular a seguinte integral:
Para resolvermos essa integral, vamos fazer uma substituição trigonométrica. No nosso denominador temos uma expressão com essa carinha aqui:
Concorda?!
Nesse tipo de caso podemos fazer o seguinte tipo de substituição:
Para a nossa integral temos:
Então usaremos a Regra da Substituição Simples usando a seguinte troca de variável:
Eu sei isso não é nada intuitivo! Mas existe uma tabelinha no livro que nos indica as substituições que funcionam, aí pra prova o negócio é fazer bastante exercício pra você ser capaz de olhar pra integral e já identificar o tipo de substituição!
Passo 2
Agora vamos substituir pela nova variável, precisamos derivar :
Essa é uma derivada tabelada! Substituindo:
-Tem certeza que esse é o caminho certo?! A integral ficou horrorosa!!!
Calma...calma, agora a gente vai usar a identidade trigonométrica:
Logo,
Multiplicando por 16 dos dois lados:
Assim,
Então:
Passo 3
Agora a gente simplifica:
Lembra que:
Então:
E não é que a substituição ajudou?!
Passo 4
Agora vamos resolver e voltar pra variável original:
Lembrando que:
Que é o mesmo que:
Vamos precisar usar identidade trigonométrica de novo, agora usaremos:
Temos:
Finalmente chegamos em:
Uhuuuul!