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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 6ª Edição - James Stewart- Ed: 6º - Capítulo 7.3 - Ex. 32A

Calcule

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x

  1. Por substituição trigonométrica

Passo 1

Bom, pra começar, vamos fazer a seguinte substituição, vamos dizer que

x = a tan (theta)

Diferenciando, temos que

d x = a sec^2 (theta) d theta

Então, podemos substituir

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x = int (a^2 tan^2 (theta))/((a^2 tan^2 (theta) + a^2)^((3)/(2))) a sec^2 (theta) d theta = int (a^2 tan^2 (theta))/((a^2 ( 1 + tan^2 (theta))^((3)/(2))) a sec^2 (theta) d theta

Passo 2

Pra resolver essa integral, precisamos lembrar da seguinte propriedade trigonométrica: 1 + tan^2 (theta) = sec^2 (theta)

int (a^2 tan^2 (theta))/((a^2 ( 1 + tan^2 (theta))^((3)/(2))) a sec^2 (theta) d theta = int (a^2 tan^2 (theta))/((a^2 sec^2 (theta))^((3)/(2))) a sec^2 (theta) d theta = int (a^2 tan^2 (theta))/(a^3 sec^3 (theta)) a sec^2 (theta) d theta = int (tan^2 (theta))/(sec (theta)) d theta = int (sec^2 (theta) - 1)/(sec (theta)) d theta = int sec (theta) d theta - int (1)/(sec (theta)) d theta = int sec (theta) d theta - int cos (theta) d theta = ln |sec (theta) + tan (theta)| - sin (theta) + c

Resposta

int (x^2)/((x^2 + a^2)^((3)/(2))) d x = ln |sec (theta) + tan (theta)| - sin (theta) + c

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