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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.1 - Ex. 30

Calcule a integral.

int_0^(sqrt(3)) a r c t g ((1)/(x)) d x

Passo 1

Olá, amigo, a questão aqui é direta e reta. Precisamos aqui resolver essa integral.

Precisamos resolver a integral usando integração por partes! Comumente utilizamos a integração por partes quando possuímos produtos entre funções, mas ela pode ser também utilizada em situações em que o cálculo direto da integral não é fácil ou não é possível, em situações em que realizar uma substituição de variável não se aplica. E Iremos utilizar aqui e agora.

Relembrando a técnica, temos que

int u d v = u v - int v d u

Passo 2

Aparentemente temos apenas uma função correto? Quem chamar de u e quem chamar de d v ? Vou reescrever a integral como

int_0^(sqrt(3)) a r c t g ((1)/(x)) d x = int_0^(sqrt(3)) 1 * a r c t g ((1)/(x)) d x

Assim, vamos tomar d v = 1 * d x e u = a r c t g ((1)/(x)) , assim v = x e

d u = (1)/(1 + ((1)/(x))^2) * (- (1)/(x^2)) d x = (x^2)/(x^2 + 1) * (- (1)/(x^2)) d x = - (1)/(1 + x^2) d x

Desta forma, a integral fica

int_0^(sqrt(3)) a r c t g ((1)/(x)) d x = [x a r c t ((1)/(x))]_0^(sqrt(3)) + int_0^(sqrt(3)) (x)/(x^2 + 1) d x

Passo 3

Observe que [x a r c t ((1)/(x))]_0^(sqrt(3)) = sqrt(3) a r c t g ((1)/(sqrt(3))) = sqrt(3) a r c t g ((sqrt(3))/(3)) = (sqrt(3) pi)/(6) . Assim,

int_0^(sqrt(3)) a r c t g ((1)/(x)) d x = (pi sqrt(3))/(6) + int_0^(sqrt(3)) (x)/(x^2 + 1) d x

Precisamos calcular a segunda integral. Note que a substituição t = x^2 + 1 => d t = 2 x d x . Assim, para x = 0 , t = 1 e, para x = sqrt(3) => t = 4 .

Passo 4

Fazendo a substituição:

int_0^(sqrt(3)) (x)/(x^2 + 1) d x = (1)/(2) int_1^4 (1)/(t) d t = (1)/(2) [ln t]_1^4 = (1)/(2) (ln 4 - ln 1) = (1)/(2) ln 4 = ln sqrt(4) = ln 2

Assim,

int_0^(sqrt(3)) a r c t g ((1)/(x)) d x = (pi sqrt(3))/(6) + ln 2

Resposta

(pi sqrt(3))/(6) + ln 2

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