Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 16.1 - Ex. 24
Encontre o campo vetorial gradiente de .
Passo 1
Fala, galera!
Nessa questão precisamos achar o campo vetoral gradiente de uma função que ela deu:
Pra isso, vamos lembrar que o gradiente de uma função de três variáveis é dado por:
Achar o campo vetorial não vai ser diferente disso! Só que não estamos interessados em um vetor único (de um ponto específico), mas sim do campo , que, dado o ponto retorna o vetor gradiente de naquele ponto.
Na prática, vai ser só calcular as derivadas parciais e assim achamos .
Passo 2
Para calcular uma derivada parcial, basta derivar em função de uma das variáveis, e mantes as outras constantes.
Primeiro em função de , com e constantes:
O termo é constante em função de , então:
Agora em função de , com e constantes:
Temos que usar regra do produto:
Então:
Por último, em função de , com e constantes:
Tiramos que é constante, e usamos a regra da cadeia:
Então:
Passo 3
Como o gradiente é
No caso da nossa função fica: