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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 4.d

4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.

d) ∫ - 1,0 , 0 2,2 , 3 ( d y + d z )

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira rdem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = 0

(É zero, pois o “dx” não aparece)

f 2 = 1

f 3 = 1

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = 0

∂ f 2 ∂ x = 0

∂ f 1 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ x = 0

∂ f 2 ∂ z = 0

∂ f 3 ∂ y = 0

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = 0 ,   ∂ f 1 ∂ z = ∂ f 3 ∂ x = 0   e ∂ f 2 ∂ z = ∂ f 3 ∂ y = 0 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = 0                 1

∂ u ∂ y = 1                 2

∂ u ∂ z = 1                   3

Integrando a equação (2) em relação a y, ficamos com

u = ∫ 1 d y

u = y + a z

Obs: aqui a z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a y)

Agora derivamos esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = ∂ a ∂ z

Se compararmos agora com a equação (3), percebemos que

∂ a ∂ z = 1

Se integrarmos em relação a z, ficamos com

a = z + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = y + z + C

Por final, temos

∫ - 1,0 , 0 2,2 , 3 ( d y + d z ) = u 2,2 , 3 - u - 1,0 , 0

= ( 2 + 3 + C ) - ( 0 + 0 + C )

= 5 + C - 0 - C

= 5

Resposta

5

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