4. Verificar que as integrais são independentes do caminho de integração e determinar seus valores.
d)
Passo 1
Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira rdem para saber se é conservativo.
Sendo
(É zero, pois o “dx” não aparece)
As derivadas
Como e , então é conservativo.
Passo 2
Agora vamos determinar a função potencial u(x,y,z).
Temos
Integrando a equação (2) em relação a y, ficamos com
Obs: aqui é a constante de integração (ela é constante em relaçao a y)
Agora derivamos esse resultado em relação a z
Se compararmos agora com a equação (3), percebemos que
Se integrarmos em relação a z, ficamos com
Onde C é a constante de integração final.
Substituindo na expressão de u
Por final, temos
Resposta
5