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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.6 - Ex. 5.d

5. Calcular ∫ C f → ⋅ d r →   , onde f → = y x 2 + y 2 , - x x 2 + y 2 , ao longo dos seguintes caminhos:

d) circungerência de centro na origem e raio 4, no sentido anti-horário.

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de primeira ordem para saber se é conservativo.

Sendo

f 1 = y x 2 + y 2

f 2 = - x x 2 + y 2

As derivadas

∂ f 1 ∂ y = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Como ∂ f 1 ∂ y = ∂ f 2 ∂ x = x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 , então é conservativo.

Passo 2

Agora vamos parametrizar a circunferência e substituir

r t = ( 2 c o s t , 2 s e n t )

∫ 0 2 π 2 s e n t 2 s e n t 2 + 2 c o s t 2 - 2 s e n t   d t - 2 c o s t 2 s e n t 2 + 2 c o s t 2 2 c o s t   d t

= ∫ 0 2 π - 1 d t = - 2 π

Resposta

- 2 π

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Faça com que F → seja o campo vetorial mostrado na figura.
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Case as funções com os desenhos de seus campos de vetor gradiente (rotulados de I-IV). Dê razões para suas escolhas. f x , y = x y