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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 10.11 - Ex. 27

Calcular

int int_S^() x^2 z d S

Onde S é a superfície cilíndrica x^2 + y^2 = 1 ; 0 <= z <= 1

Passo 1

Quando temos um campo escalar, não temos muito truques a que recorrer. Temos que seguir a regra abaixo

int int_S^() f ( x , y ) d S = int int_R^() f ( r ( u , v ) ) |(del r)/(del u) xx (del r)/(del v)| d u d v

Ou seja,

1 º nossa função escalar, parametrizamos ela

2 º Depois multiplicamos pelo rotacional das derivadas parciais dessa parametrização

3º Por fim, integramos.

Passo 2

Temos uma região cilíndrica, então uma boa parametrização seria algo do tipo

r (u , z) = (c o s u , s e n u , z)

0 <= u <= 2 pi

0 <= z <= 1

Beleza !!! Já temos por onde começar. Vamos agora achar as derivadas parciais

r_u = (- s e n u , cos u , 0)

r_z = (0,0 , 1)

Agora vamos fazer o rotacional das derivadas parciais

|(del r)/(del u) xx (del r)/(del v)| = [[[vec x,vec y,vec z],[-,s,e,n,,u,,cos u,0],[0,0,1]]]

Isso vai nos dar

|(cos u , s e n u , 0)|

= sqrt(cos^2 u + s e n^2 u + 0 ² )

= 1

SUPER DICA!!!!!

O |(del r)/(del u) xx (del r)/(del v)| de uma parametrização cilíndrica é sempre o raio do cilindro. Como nosso raio é 1, nosso resultado deu 1.

Isso pode te economizar um tempinho de contas 😉

Passo 3

Vamos integrar agora

int int_S^() x^2 z d S = int_0^(2 pi) int_0^1 f (r (u , z)) * 1 d z d u

Vamos parametrizar agora nossa função escalar

x = cos u -> x^2 = cos^2 u

z = z

Isso faz com que nossa integral fique da seguinte forma

int_0^(2 pi) int_0^1 cos^2 u * z d z d u

= ((z^2)/(2)|_0^1 int_0^(2 pi) cos^2 u d u

= (1)/(2) int_0^(2 pi) cos^2 u d u

= (1)/(2) * pi

= (pi)/(2)

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

int int_S^() x^2 z d S = (pi)/(2)

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