Calcular

∫ ∫ S x 2 z   d S  

Onde S é a superfície cilíndrica x^2 + y^2 = 1; 0 <= z <= 1

Passo 1

Quando temos um campo escalar, não temos muito truques a que recorrer. Temos que seguir a regra abaixo

∫ ∫ S f ( x , y )   d S   = ∫ ∫ R f ( r ( u , v ) ) ∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v   d u d v

Ou seja,

1 º nossa função escalar, parametrizamos ela

2 º Depois multiplicamos pelo rotacional das derivadas parciais dessa parametrização

3º Por fim, integramos.

Passo 2

Temos uma região cilíndrica, então uma boa parametrização seria algo do tipo

r   u , z =   c o s u   ,   s e n u   ,   z  

0 ≤ u ≤ 2 π

0 ≤ z ≤ 1

Beleza !!! Já temos por onde começar. Vamos agora achar as derivadas parciais

r u =   - s e n   u   , cos ⁡ u ,   0

r z = 0,0 , 1  

Agora vamos fazer o rotacional das derivadas parciais

∂ r ∂ u × ∂ r ∂ v =   x → y → z → - s e n   u   cos ⁡ u 0 0 0 1

Isso vai nos dar

cos ⁡ u ,     s e n   u ,     0

= cos 2 ⁡ u + s e n 2 u + 0 ²  

= 1

SUPER DICA!!!!!

O ∂ r ∂ u   × ∂ r ∂ v   de uma parametrização cilíndrica é sempre o raio do cilindro. Como nosso raio é 1, nosso resultado deu 1.

Isso pode te economizar um tempinho de contas 😉

Passo 3

Vamos integrar agora

∫ ∫ S x 2 z   d S   =   ∫ 0 2 π ∫ 0 1 f r u , z * 1   d z d u

Vamos parametrizar agora nossa função escalar

x = cos ⁡ u → x 2 = cos 2 ⁡ u

z = z

Isso faz com que nossa integral fique da seguinte forma

∫ 0 2 π ∫ 0 1 cos 2 ⁡ u * z   d z d u

= z 2 2 0 1   ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ u d u

= 1 2 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ u d u

= 1 2 * π

= π 2

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∫ ∫ S x 2 z   d S   = π 2

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