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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 40

Calcular a área da região limitada por y = tg^3 x , y = 1 e x = 0 .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar a curva y = tg^3 x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de 0 até o ponto de interseção de y = 1 com y = tg^3 x :

1 = tg^3 x -> x = (pi)/(4)

Temos então que os limites de integração são 0 e (pi)/(4) .

E temos que y = 1 é a função de cima, e y = tg^3 x é a função de baixo, vamos substituir:

A = int_a^b (f_c i m a - f_b a i x o) d x = int_0^((pi)/(4)) (1 - tg^3 x) d x = int_0^((pi)/(4)) 1 d x + int_0^((pi)/(4)) - tg^3 x d x =

= (x)_0^((pi)/(4)) - int_0^((pi)/(4)) tg^3 x d x = (pi)/(4) - 0 - int_0^((pi)/(4)) tg^3 x d x = (pi)/(4) - int_0^((pi)/(4)) tg^3 x d x

Passo 4

Para calcular int_0^((pi)/(4)) tg^3 x d x vamos usar a fórmula de Recorrência, e vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int tg^n u d u = (1)/(n - 1) tg^(n - 1) u - int tg^(n - 2) u d u

Assim:

int tg^3 x d x = (1)/(3 - 1) tg^(3 - 1) x - int tg^(3 - 2) x d x = (1)/(2) tg^2 x - int tg x d x =

= (1)/(2) tg^2 x - ln |sec x|

Passo 5

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Ficamos então com:

int_0^((pi)/(4)) tg^3 x d x = ((1)/(2) tg^2 x - ln |sec x|)_0^((pi)/(4)) = (1)/(2) tg^2 (pi)/(4) - ln |sec (pi)/(4)| - ((1)/(2) tg^2 0 - ln |sec 0|) =

= (1)/(2) * 1^2 - ln |sqrt(2)| - ((1)/(2) * 0^2 - ln |1|) = (1)/(2) - ln sqrt(2) - (0 - 0) = (1)/(2) - ln sqrt(2)

Agora é só juntar tudo para achar a área:

A = int_0^((pi)/(4)) (1 - tg^3 x) d x = (pi)/(4) - int_0^((pi)/(4)) tg^3 x d x = (pi)/(4) - ((1)/(2) - ln sqrt(2)) = (pi)/(4) - (1)/(2) + ln sqrt(2)

Resposta

A = (pi)/(4) - (1)/(2) + ln sqrt(2)

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