Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 35

Calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.

x = t y = t 2 e x = 1 + t y = 1 + 3 t

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica da região limitada por curvas:

Passo 2

Temos que para x = 1 e x = 2 , os limites t são para as curvas 1 e 2, respectivamente:

1 ,   1 → t = 1 ; 1 ,   1 → t = 0 ;

2 ,   4 → t = 2 . 2 ,   4 → t = 1 .

Passo 3

A área de uma região limitada por curvas é dada pela seguinte equação:

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' t d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x ' = 1

Passo 4

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região limitada por curvas, temos:

A = ∫ t 2 0 t 2 1 y 2 t ⋅ x 2 ' t d t - ∫ t 1 0 t 1 1 y 1 t ⋅ x 1 ' t d t

x 1 ' t = x 2 ' ( t )

A = ∫ 0 1 ( 1 + 3 t ) ⋅ 1   d t - ∫ 1 2 t 2 ⋅ 1   d t

Passo 5

Integrando os termos:

A = ∫ 0 1 ( 1 + 3 t ) ⋅ 1   d t - ∫ 1 2 t 2 ⋅ 1   d t = t + 3 t 2 2 - t 3 3

Aplicando os limites, temos:

A = 1 - 0 + 3 2 1 - 0 - 8 - 1 3 = 1 + 3 2 - 7 3 = 6 + 9 - 14 6 = 1 6

Resposta

1 6   u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). c ) ρ = cos ⁡ 2 θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares c )ρ = 1 eρ = 2 1 - cos ⁡ θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares c )ρ = 3 eρ = 2 1 - cos ⁡ θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares e )ρ = cos ⁡ θeρ = sin ⁡ θ
Calcule a área da intersecção da região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares a )ρ = 2 - cos ⁡ θeρ = 1 + cos ⁡ θ