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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 8.4 - Ex. 33

Calcular a área da região limitada pelas seguintes curvas, dadas na forma paramétrica.

x = cos ⁡ t y = s e n   t e x = cos ⁡ t y = 1 2 s e n   t

Passo 1

Temos a seguinte representação gráfica da região limitada por curvas:

Passo 2

A área de uma região limitada por curvas é dada pela seguinte equação:

A = ∫ t 0 t y t ⋅ x ' t d t

Sendo assim, a derivada de x , é:

x ' = -   s e n   t

Passo 3

Substituindo y e x ' na equação da área de uma região limitada por curvas, temos:

A = ∫ t 0 t y 1 t ⋅ x 1 ' t d t - ∫ t 0 t y 2 t ⋅ x 2 ' t d t

x 1 ' t = x 2 ' ( t )

A = ∫ 0 2 π s e n   t ⋅ - s e n   t   d t - ∫ 0 2 π 1 2 s e n   t ⋅ - s e n   t   d t

A = - ∫ 0 2 π s e n 2   t d t + 1 2 ∫ 0 2 π s e n 2   t d t

Passo 4

Integrando:

∫ s e n 2   t d t = 1 2 t - 1 2 s e n   2 t

Substituindo na equação:

A = - 1 2 t - 1 2 s e n   2 t + 1 2 ⋅ 1 2 t - 1 2 s e n   2 t = = - 1 2 t - 1 2 s e n   2 t + 1 4 t - 1 2 s e n   2 t

A = - 1 2 t + 1 4 s e n   2 t + 1 4 t - 1 8 s e n   2 t

Aplicando os limites, temos:

A = - 1 2 ⋅ 2 π + 1 4 s e n   2 2 π + 1 4 ⋅ 2 π - 1 8 s e n   2 2 π = - π + 0 + π 2 - 0 = - π 2

Como estamos trabalhando com área, temos o módulo do valor obtido:

A = π 2

Resposta

π 2   u . a

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Desenhe a curva dada (coordenadas polares ). h ) ρ 2 = 1 1 + sin 2 ⁡ θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). a )ρ = 2 - cos ⁡ θ
Calcule a área da intersecção das região limitada pelas curvas dadas em coordenadas polares d )ρ 2 = cos ⁡ θeρ 2 = sin ⁡ θ( ρ ≥ 0 )
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). c ) ρ = cos ⁡ 3 θ
Calcule a área da região limitada pela curva dada(coordenadas polares). b ) ρ 2 = cos ⁡ θ ( ρ ≥ 0 )