Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 15

Calcular a área sob a curva y = (1)/(2 + s e n x) , de x = 0 a x = (pi)/(2) .

Passo 1

Pra a gente calcular a área, é “só” integrar essa função no intervalo pedido.

Ou seja:

A = int_0^((pi)/(2)) (1)/(2 + s e n x) d x

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) e d theta = (2 d t)/(1 + t^2)

Passo 2

Vamos resolver a integral indefinida primeiro:

int (1)/(2 + s e n x) d x

Agora a gente substitui:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/(2 + (2 t)/(1 + t^2))

= int ((2 d t)/(1 + t^2))/((2 + 2 t^2 + 2 t)/(1 + t^2))

= int (2 d t)/(2 t^2 + 2 t + 2)

= int (d t)/(t^2 + t + 1)

A gente pode completar o quadrado na função debaixo...

int (d t)/((t + (1)/(2))^2 + (3)/(4))

Passo 3

Agora a gente integra:

= (1)/((sqrt(3))/(2)) a r c t g (t + (1)/(2))/((sqrt(3))/(2)) + C

Vamos voltar pra variável x ...

(2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 t g ((x)/(2)) + 1)/(sqrt(3)) + C

Agora a gente tem que aplicar o intervalo de integração...

A = [(2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 t g ((x)/(2)) + 1)/(sqrt(3))]_0^((pi)/(2))

Passo 4

Aplicando os valores do intervalo fica:

A = (2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 t g ((pi)/(4)) + 1)/(sqrt(3)) - (2)/(sqrt(3)) a r c t g (2 t g 0 + 1)/(sqrt(3))

A = (2)/(sqrt(3)) a r c t g (3)/(sqrt(3)) - (2)/(sqrt(3)) a r c t g (1)/(sqrt(3))

A = (2)/(sqrt(3)) * (pi)/(3) - (2)/(sqrt(3)) * (pi)/(6)

A = (2)/(sqrt(3)) ((pi)/(3) - (pi)/(6))

A = (pi sqrt(3))/(9) u . a

Prontinho! Essa é a área😉

Resposta

A = (pi sqrt(3))/(9) u . a

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Uma partícula move-se em um eixo s com uma velocidade de v t = 3 cos ⁡ 2 tm / s . Encontre a distância percorrida pela partícula no intervalo de tempo 0 ≤ t ≤ π 8 .
31-50. Calcule as integrais por qualquer método.36. ∫ 1 2 d x x 2 - 6 x + 9
Encontre a área sob a curva y = 9 x + 2 2 acima do intervalo [ - 1 ,1 ] .
31-50. Calcule as integrais por qualquer método.41. ∫ π 12 π 9 s e c 2 3 θ d θ
19-22. Calcule a integral definida expressando-a em termos de u e calculando a integral resultante usando uma fórmula de Geometria.19. ∫ - 5 3 5 3 25 - 9 x 2 d x ; u = 3 x