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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.4 - Ex. 43

Calcular a área sob o gráfico de y = sen^3 x , de 0 até pi .

Passo 1

Para encontrar a região da área vamos primeiro desenhar a curva y = sen^3 x :

Passo 2

Pronto, temos o desenho base do gráfico. Agora vamos colocar as retas, elas vão limitar a área que queremos:

Passo 3

Vamos agora montar a integral da área, temos que os limites de integração são de 0 até pi , e temos que y = sen^3 x é a função de cima, e y = 0 é a função de baixo, vamos substituir:

A = int_a^b (f_c i m a - f_b a i x o) d x = int_0^(pi) (sen^3 x - 0) d x = int_0^(pi) sen^3 x d x

Para calcular int_0^(pi) sen^3 x d x vamos usar a fórmula de Recorrência, e vamos calcular a integral indefinida e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração:

int sen^n u d u = - (1)/(n) sen^(n - 1) u cos u + (n - 1)/(n) int sen^(n - 2) u d u

Assim:

int sen^3 x d x = - (1)/(3) sen^(3 - 1) x cos x + (3 - 1)/(3) int sen^(3 - 2) x d x =

= - (1)/(3) sen^2 x cos x + (2)/(3) int sen x d x = - (1)/(3) sen^2 x cos x + (2)/(3) (- cos x) + C =

= - (1)/(3) sen^2 x cos x - (2)/(3) cos x + C

Passo 4

Pronto, já encontramos a integral indefinida, agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

int_a^b f (x) d x = F (b) - F (a)

Agora é só juntar tudo para achar a área:

A int_0^(pi) sen^3 x d x = (- (1)/(3) sen^2 x cos x - (2)/(3) cos x)_0^(pi) =

= - (1)/(3) sen^2 pi cos pi - (2)/(3) cos pi - (- (1)/(3) sen^2 0 cos 0 - (2)/(3) cos 0) =

= - (1)/(3) * 0 * (- 1) - (2)/(3) * (- 1) - (- (1)/(3) * 0 * 1 - (2)/(3) * 1) = (2)/(3) + (2)/(3) = (4)/(3)

Resposta

A = (4)/(3)

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