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Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 7.2 - Ex. 67

Demonstre a fórmula onde m e n são números inteiros e positivos

∫ - π π sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x = 0

Passo 1

Olá, meu querido amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade.

Não vai ser tão complicado demonstrar isto, você so precisa lembrar da seguinte propriedade trigonométrica:

sin ⁡ A cos ⁡ B = 1 2 sin ⁡ A - B + sin ⁡ A + B

Passo 2

Então, substituindo na integral, temos

�� - π π sin ⁡ m x cos ⁡ n x d x = ∫ - π π 1 2 sin ⁡ m x - n x + sin ⁡ m x + n x d x

Utilizando de uma substituição para calcularmos essas integrais:

m x - n x = u

m - n = d u d x

∫ sin ⁡ u m - n d u = - cos ⁡ u m - n

Agora iremos fazer analogamente para a segunda integral:

m x + n x = h

m + n = d u d h

∫ sin ⁡ h m + n = - cos ⁡ u m + n

Substituindo:

= 1 2 - cos ⁡ m - n x m - n - cos ⁡ m + n x m + n - π π = 0  

Note que cos ⁡ k π = 1 para todo k inteiro e positivo e cos ⁡ - k π = - 1 , como m e n são números inteiros e positivos, temos que ( m - n ) e ( m + n ) é um numero inteiro.

Se m = n o primeiro termo em cada conjunto de parênteses é igual a zero

Resposta

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