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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 55

Nos exercícios 55 a 58 , encontrar o valor máximo da derivada direcional do campo escalar dado, nos pontos indicados:

f x ,   y = x y 2 - y - x 2 ; P 0 ( 1 ,   1 )

Passo 1

Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for f → , o gradiente vai ser dado por:

g r a d   f → = ∇ f → = ∂ f ∂ x i → + ∂ f ∂ y j → + ∂ f ∂ z k →

Então vamos começar o trabalho calculando as derivadas parciais. Como a função é só de x e y , não precisamos nos preocupar com o z .

Passo 2

Bora lá! A função é:

f x ,   y = x y 2 - y - x 2

Desenvolvendo:

f x ,   y = x y 2 - y 2 + 2 x y - x 2

Calculando as derivadas parciais:

∂ f ∂ x = y 2 + 2 y - 2 x

∂ f ∂ y = 2 x y - 2 y + 2 x

Assim,

∇ f → = y 2 + 2 y - 2 x   i → + 2 x y - 2 y + 2 x j →

Passo 3

E o valor máximo da derivada direcional vai ser igual ao módulo do gradiente! Vamos substituir o ponto P 0 na expressão e calcular o módulo, e aí acabou.

∇ f → P 0 = ∇ f → 1 ,   1 = 1 2 + 2 - 2 i → + 2 - 2 + 2   j →

∇ f → P 0 = i → + 2   j →

O valor do gradiente nesse ponto é:

∇ f → P 0 = 1 2 + 2 2

∇ f → P 0 = 5

Esse é o módulo máximo da derivada direcional!

Resposta

5

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