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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 41c

Calcular (del f)/(del v) (x_0 , y_0) na direção vec v = 2 vec i - vec j :

f (x , y) = (x + y)/(1 - x) ; (x_0 , y_0) = (0 , (1)/(2))

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor vec v vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

(del f)/(del v) (x_0 , y_0) = grad f (x_0 , y_0) * (v)/(||v||)

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

grad f (x , y) = (del f)/(del x) vec i + (del f)/(del y) vec j

Substituindo:

grad f (x , y) = (del ((x + y)/(1 - x)))/(del x) vec i + (del ((x + y)/(1 - x)))/(del y) vec j

Derivando parcialmente:

grad f (x , y) = ((1) xx (1 - x) - (x + y) xx (- 1))/((1 - x)^2) vec i + (1)/(1 - x) vec j

Logo,

grad f (x , y) = (1 + y)/((1 - x)^2) vec i + (1)/(1 - x) vec j

Então no ponto (0 , (1)/(2)) , temos:

grad f (0 , (1)/(2)) = (1 + (1)/(2))/((1 - 0)^2) vec i + (1)/(1 - 0) vec j

Simplificando,

grad f (0 , (1)/(2)) = (3)/(2) vec i + 1 vec j

Reescrevendo,

grad f (0 , (1)/(2)) = ((3)/(2) , 1)

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

(del f)/(del v) (0 , (1)/(2)) = grad f (1,2) * ((2 , - 1))/(||(2 , - 1)||)

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

(del f)/(del v) (0 , (1)/(2)) = ((3)/(2) , 1) * ((2 , - 1))/(||(2 , - 1)||)

Como ||(2 , - 1)|| = sqrt(2^2 + (- 1)^2) :

(del f)/(del v) (0 , (1)/(2)) = (((3)/(2) , 1) * (2 , - 1))/(sqrt(2^2 + (- 1)^2))

Fazendo o produto escalar:

(del f)/(del v) (0 , (1)/(2)) = ((3)/(2) xx 2 + 1 xx - 1)/(sqrt(5))

Portanto,

(del f)/(del v) (0 , (1)/(2)) = (2)/(sqrt(5))

Resposta

(del f)/(del v) (0 , (1)/(2)) = (2)/(sqrt(5))

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