Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 61
A figura mostra uma plataforma retangular cuja temperatura em cada ponto é dada por . Um indivíduo encontra-se no ponto dessa plataforma e necessita esquentar-se o mais rápido possível. Determinar a trajetória (obter uma equação) que o indivíduo deve seguir, esboçando-a sobre a plataforma.
Passo 1
Bom, ele quer saber a direção em que a temperatura aumenta o mais rápido possível. Se ele está falando em direção de máximo crescimento, só pode estar falando em uma coisa: derivada direcional! A direção de máximo crescimento da temperatura é aquela em que a derivada tem o maior módulo, sacou? Pra calcular a derivada direcional do campo, a primeira coisa que vamos ter que fazer é calcular o gradiente desse campo. Bom, isso a gente sabe fazer, né? Se a nossa função for , o gradiente vai ser dado por:
Aqui a gente não tem , mas tem o , que também é uma função, igualzinho ao hahah Pra facilitar, vamos até dizer que e resolver com essa letra.
Passo 2
Bora lá! A função é:
Calculando as derivadas parciais:
Assim,
Passo 3
Bom, esse é o gradiente da função:
E esse gradiente é uma função , cujas componentes são as derivadas da trajetória dele em e :
Isso dá um sistema!
Resolvendo,
Ele estava inicialmente em , como dá pra ver na figura, ou seja, quando . Assim:
Portanto, a trajetória é dada por:
E é claro que só serve pra , porque não dá pro tempo voltar pra trás, né? Além disso, pra ele não sair da placa. O máximo da placa é , e o máximo é . Assim:
Por isso, o nosso intervalo mais reduzido é:
Fechou!