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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 41b

Calcular (del f)/(del v) (x_0 , y_0) na direção vec v = 2 vec i - vec j :

f (x , y) = e^(x y) ; (x_0 , y_0) = (- 1,2)

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor vec v vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

(del f)/(del v) (x_0 , y_0) = grad f (x_0 , y_0) * (v)/(||v||)

Então vamos começar encontrando o gradiente de f !

Passo 2

Para acharmos o gradiente, vamos fazer o seguinte:

grad f (x , y) = (del f)/(del x) vec i + (del f)/(del y) vec j

Substituindo:

grad f (x , y) = (del (e^(x y)))/(del x) vec i + (del (e^(x y)))/(del y) vec j

Derivando parcialmente:

grad f (x , y) = y xx e^(x y) vec i + x xx e^(x y) vec j

Logo,

grad f (x , y) = y e^(x y) vec i + x e^(x y) vec j

Então no ponto (- 1,2) , temos:

grad f (- 1,2) = 2 e^(- 2) vec i - e^(- 2) vec j

Reescrevendo,

grad f (- 1,2) = (2 e^(- 2) , - e^(- 2))

Passo 3

Voltando para formula do Passo 1, temos:

(del f)/(del v) (- 1,2) = grad f (1,2) * ((2 , - 1))/(||(2 , - 1)||)

Substituindo com o que achamos no passo anterior:

(del f)/(del v) (- 1,2) = (2 e^(- 2) , - e^(- 2)) * ((2 , - 1))/(||(2 , - 1)||)

Como ||(2 , - 1)|| = sqrt(2^2 + (- 1)^2) :

(del f)/(del v) (- 1,2) = ((2 e^(- 2) , - e^(- 2)) * (2 , - 1))/(sqrt(2^2 + (- 1)^2))

Fazendo o produto escalar:

(del f)/(del v) (- 1,2) = (2 xx 2 e^(- 2) + (- 1) xx - e^(- 2))/(sqrt(5))

Fazendo as contas:

(del f)/(del v) (1,2) = (5 e^(- 2))/(sqrt(5))

Racionalizando a expressão:

(del f)/(del v) (1,2) = (5 e^(- 2))/(sqrt(5)) xx (sqrt(5))/(sqrt(5))

Portanto,

(del f)/(del v) (1,2) = sqrt(5) e^(- 2)

Resposta

(del f)/(del v) (1,2) = sqrt(5) e^(- 2)

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