Uma função diferenciável f x , y tem, no ponto 0 , π 2 , derivada direcional igual a 2 5 na direção 3 i → + 4 j → e igual a 11 5 na direção 4 i → - 3 j → . Calcular:

b) ∂ f ∂ s 0 , π 2 na direção a → = i → + j →

Passo 1

Para acharmos a derivada na direção do vetor v → vamos usar aquela relação lá da teoria, se liga só:

∂ f ∂ v x , y = ∇ f x , y ⋅ v v

Nesse caso ele nos pede para acharmos em 0 , π 2 na direção a → = i → + j →

Passo 2

Usando a expressão do Passo 1:

∂ f ∂ a 0 , π 2 = ∇ f 0 , π 2 ⋅ 1,1 1,1

Do exercício 53 a sabemos que ∇ f 0 , π 2 = 2 , - 1 . Assim,

∂ f ∂ a 0 , π 2 = 2 , - 1 ⋅ 1,1 1,1

Isto é,

∂ f ∂ a 0 , π 2 = 2 , - 1 ⋅ 1,1 1 2 + 1 2

Fazendo o produto escalar:

∂ f ∂ a 0 , π 2 = 2 - 1 1 2 + 1 2

Portanto,

∂ f ∂ a 0 , π 2 = 1 2

Resposta

∂ f ∂ a 0 , π 2 = 1 2

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