Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 6.6 - Ex. 49
Em que direção devemos nos deslocar partindo de para obter a taxa de maior decréscimo da função ?
Passo 1
A ideia nessa questão é lembrar que a direção de maior taxa de crescimento é a do vetor gradiente, mas como queremos a de maior decréscimo basta pegarmos a direção oposta a do vetor gradiente.
Então vamos começar encontrando o gradiente de .
Passo 2
Substituindo a expressão de na formula do gradiente:
Derivando parcialmente com relação a :
Simplificando:
Em relação a , temos:
Portanto,
Passo 3
Então o nosso vetor gradiente fica o seguinte:
Para o ponto :
Fazendo as contas:
Mas lembra que a gente queria o vetor na direção oposta ao do gradiente, então basta multiplicarmos por . Assim,
Resposta
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14.25. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre. f x , y , z = ln x y 2 z 3 , ( 1 ,- 2 ,- 3 )
14.24. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre. f x , y , z = x 2 y 3 z 4 , ( 1 ,1 ,1 )
14.28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de f x , y = x 2 + sin x y no ponto ( 1,0 ) tem valor 1.
14.34. Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 onde x , yez são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas 50 ,80
Determine a derivada direcional de f x ,y ,z = x y ² z ³ ² ³ em P ( 2 ,1 ,1 ) na direção de Q ( 0 ,- 3 ,5 ) .