Em que direção devemos nos deslocar partindo de para obter a taxa de maior decréscimo da função ?
Passo 1
A ideia nessa questão é lembrar que a direção de maior taxa de crescimento é a do vetor gradiente, mas como queremos a de maior decréscimo basta pegarmos a direção oposta a do vetor gradiente.
Então vamos começar encontrando o gradiente de .
Passo 2
Substituindo a expressão de na formula do gradiente:
Derivando parcialmente com relação a :
Simplificando:
Em relação a , temos:
Portanto,
Passo 3
Então o nosso vetor gradiente fica o seguinte:
Para o ponto :
Fazendo as contas:
Mas lembra que a gente queria o vetor na direção oposta ao do gradiente, então basta multiplicarmos por . Assim,
Resposta
Exercícios de Livros Relacionados
14.25. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.f(x, y, z) = ln(x * y^2 * z^3), (1, -2, -3)
14.24. Determine a taxa de variação máxima de f no ponto dado e a direção e sentido em que isso ocorre.f(x, y, z) = x^2 * y^3 * z^4, (1, 1, 1)
14.28. Determine as direções e sentidos em que a derivada direcional de f(x, y) = x^2 + sen(xy) no ponto (1,0) tem valor 1.
14.34. Suponha que você esteja escalando um morro cujo formato é dado pela equação z = 1000 - 0,01 x 2 - 0,02 y 2 onde x , yez são medidos em metros, e você esteja em pé no ponto de coordenadas 50 ,80
Determine a derivada direcional de f(x, y, z) = x * y² * z³ ² ³ em P(2, 1, 1) na direção de Q(0, -3, 5) .