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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 1c

Calcule

int_gamma (x y z) d s

Onde gamma (t) = (cos t , s e n t , t) , 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Nosso capítulo se refere a Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco. Onde tendo nossa função f (X) contínua, definida na imagem de gamma , então temos que

int_gamma f (X) d s = int_a^b f (gamma (t)) | |gamma^' (t)| | d t

Passo 2

Desta forma vamos agora partir para nosso problema.

Dada a parametrização que o exercício nos fornece, temos que

f (gamma (t)) = t cos t s e n t

E

||gamma^' (t)|| = sqrt(1 + (- s e n t)^2 + (cos t)^2) = sqrt(2)

Assim nossa integral pode ser reescrita como

sqrt(2) int_0^(2 pi) (t cos t s e n t) d t = (sqrt(2))/(2) int_0^(2 pi) t s e n 2 t d t

Fazendo uma integração por partes, fazemos

t = u

s e n 2 t d t = d v

O que nos leva

d t = d u

v = - (cos 2 t)/(2)

Assim podemos reencrever nossa integral como

(sqrt(2))/(2) {[- (t cos 2 t)/(2)]_0^(2 pi) + int_0^(2 pi) (cos 2 t)/(2) d t}

= (sqrt(2))/(2) {- pi + 0 + [- (s e n 2 t)/(4)]_0^(2 pi)} = - (pi sqrt(2))/(2)

Que era exatamente o que buscavamos

Resposta

- (pi sqrt(2))/(2)

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