Calcule

∫ γ x y z d s  

Onde γ(t) = (cos t, sen t, t) , 0 <= t <= 2pi

Passo 1

Nosso capítulo se refere a Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco. Onde tendo nossa função f X contínua, definida na imagem de γ , então temos que

∫ γ f X d s = ∫ a b f γ t | γ ' t |   d t

Passo 2

Desta forma vamos agora partir para nosso problema.

Dada a parametrização que o exercício nos fornece, temos que

f γ t = t cos ⁡ t   s e n   t

E

γ ' t = 1 + - s e n   t 2 + cos ⁡ t 2 = 2

Assim nossa integral pode ser reescrita como

2 ∫ 0 2 π t cos ⁡ t   s e n   t d t = 2 2 ∫ 0 2 π t   s e n   2 t   d t

Fazendo uma integração por partes, fazemos

t = u

s e n   2 t   d t = d v

O que nos leva

d t = d u

v = - cos ⁡ 2 t 2

Assim podemos reencrever nossa integral como

2 2 - t cos ⁡ 2 t 2 0 2 π + ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t 2 d t

= 2 2 - π + 0 + - s e n   2 t 4 0 2 π = - π 2 2

Que era exatamente o que buscavamos

Resposta

- π 2 2

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