Responde Aí
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Enunciado

Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 6.3 - Ex. 1c

Calcule int_C f d s , onde

c ) f (x , y) = y^2 e C tem equações paramétricas x = t - s e n t , y = 1 - cos t , 0 <= t <= 2 pi .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamo que vamo com o Responde Aí em mais um exercício!! :D

Para calcularmos a integral de linha, precisamos parametrizar a nossa função. Mas por sorte nós já temos as equações paramétricas da curva. Logo, ela pode ser escrita como:

C : sigma (t) = (t - s e n t , 1 - cos t) , 0 <= t <= 2 pi

Assim, a curva parametrizada terá sua integral dada por:

int_C f d s = int f (sigma (t)) * ||sigma^' (t)|| d t

E a nossa curva terá o valor:

C : sigma^' (t) = (1 - cos t , s e n t)

Ou seja:

C : ||sigma^' (t)|| = sqrt((1 - cos t)^2 + (s e n t)^2) = sqrt(1 - 2 cos t + cos^2 t + s e n^2 t)

Vamos aplicar a identidade trigonométrica:

s e n^2 u + cos^2 u = 1

Para obter:

C : ||sigma^' (t)|| = sqrt(1 - 2 cos t + 1) = sqrt(2 - 2 cos t)

Ou ainda:

C : ||sigma^' (t)|| = sqrt(2 (1 - cos t)) = sqrt(2) sqrt(1 - cos t)

Passo 2

Então, nossa integral pode ser escrita como:

int_C f d s = int_C (y^2) d s

Ou seja:

int_C (y^2) d s = int_0^(2 pi) (1 - cos t)^2 (sqrt(2) sqrt(1 - cos t)) d t

=> sqrt(2) int_0^(2 pi) (1 - cos t)^2 (1 - cos t)^(1 // 2) d t = sqrt(2) int_0^(2 pi) (1 - cos t)^(5 // 2) d t

Se usarmos a identidade trigonométrica:

s e n^2 u = (1 - cos (2 u))/(2)

E assumirmos:

t = 2 u -> u = (t)/(2)

Nossa integral será dada por:

sqrt(2) int_0^(2 pi) (2 s e n^2 ((t)/(2)))^(5 // 2) d t = sqrt(2) int_0^(2 pi) sqrt(32) s e n^5 ((t)/(2)) d t

Podemos reescrevê-la como:

sqrt(2) int_0^(2 pi) sqrt(32) s e n^5 ((t)/(2)) d t = sqrt(64) int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) (s e n^2 ((t)/(2)))^2 d t

Agora, usando outra identidade trigonométrica:

s e n^2 u + cos^2 u = 1

E com a substituição:

=> 8 int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) (1 - cos^2 ((t)/(2)))^2 d t = 8 int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) (1 - 2 cos^2 ((t)/(2)) + cos^4 ((t)/(2))) d t

Obtendo:

int_C f d s = 8 int_0^(2 pi) [s e n ((t)/(2)) - 2 s e n ((t)/(2)) cos^2 ((t)/(2)) + s e n ((t)/(2)) cos^4 ((t)/(2))] d t

Passo 3

Separando as integrais:

int_C f d s = 8 [int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) d t + 2 int_0^(2 pi) - s e n ((t)/(2)) cos^2 ((t)/(2)) d t + int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) cos^4 ((t)/(2)) d t]

Tal que a primeira pode ser resolvida diretamente:

int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) d t = - 2 cos ((t)/(2)) | [[2,pi],[0]]

Que resulta em:

- 2 cos ((t)/(2)) | [[2,pi],[0]] = - 2 [cos (pi) - cos (0)]

=> - 2 [- 1 - 1] = 4

Já as outras duas podem ser resolvidas pelo método da substituição simples com:

u = cos ((t)/(2)) -> d u = - (1)/(2) s e n ((t)/(2)) d t

Tal que:

Quando t = 2 pi -> u = - 1

Quando t = 0 -> u = 1

Logo, a segunda integral será calculada por:

2 int_0^(2 pi) - s e n ((t)/(2)) cos^2 ((t)/(2)) d t = 2 int_1^(- 1) u^2 (2 d u) = - 4 int_(- 1)^1 u^2 d u

Resultando em:

- 4 int_(- 1)^1 u^2 d u = - 4 [(u^3)/(3)] | [[1],[-,1]]

E substituindo os limites de integração:

- 4 [(u^3)/(3)] | [[1],[-,1]] = (- 4)/(3) [1 - (- 1)] = - (8)/(3)

Enquanto a terceira integral será dada como:

int_0^(2 pi) s e n ((t)/(2)) cos^4 ((t)/(2)) d t = int_1^(- 1) u^4 (- 2 d u) = 2 int_(- 1)^1 u^4 d u

Com isso:

2 int_(- 1)^1 u^4 d u = 2 [(u^5)/(5)] | [[1],[-,1]]

Isso nos dá:

2 [(u^5)/(5)] | [[1],[-,1]] = (2)/(5) [1 - (- 1)] = (4)/(5)

Passo 4

Por fim, juntando todos os resultados obtidos, teremos:

int_C f d s = 8 [4 - (8)/(3) + (4)/(5)]

E encontrando o MMC:

8 [4 - (8)/(3) + (4)/(5)] = 8 [(60 - 40 + 12)/(15)]

Logo:

int_C f d s = (256)/(15)

Resposta

(256)/(15)

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