Determinar o vetor gradiente das funções dadas nos pontos indicados:

i) f(x, t) = (x + 2t) * ln(x + 2t); P(e, 1)

Passo 1

O vetor gradiente é dado por:

∇ f = ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ t

Então, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a x :

∂ f ∂ x = x + 2 t ⋅ 1 x + 2 t + ln ⁡ x + 2 t

Agora, vamos calcular a derivada parcial de f em relação a t :

∂ f ∂ t = x + 2 t ⋅ 2 x + 2 t + ln ⁡ x + 2 t ⋅ 2

Desse modo, temos o seguinte vetor gradiente:

∇ f = x + 2 t x + 2 t + ln ⁡ x + 2 t ,   2 x + 2 t x + 2 t + 2 ln ⁡ x + 2 t

Passo 2

Devemos agora, aplicar o ponto dado no vetor gradiente obtido.

Então, no ponto P e ,   1 , temos:

∇ f e ,   1 = e + 2 e + 2 + ln ⁡ e + 2 ,   2 ( e + 2 ) e + 2 + 2 ln ⁡ e + 2 = 1 + ln ⁡ e + 2 ,   2 + 2 ln ⁡ e + 2

Resposta

∇ f e ,   1 = 1 + ln ⁡ e + 2 ,   2 + 2 ln ⁡ e + 2

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