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Enunciado

Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 6.5 - Ex. 1b

Calcule

int_gamma (2 x y + y^2) d s

Onde gamma (t) = ( t + 1 , t - 1 ) , 0 <= t <= 1

Passo 1

Nosso capítulo se refere a Integral de linha relativa ao comprimeiro de arco. Onde tendo nossa função f (X) contínua, definida na imagem de gamma , então temos que

int_gamma f (X) d s = int_a^b f (gamma (t)) | |gamma^' (t)| | d t

Passo 2

Desta forma vamos agora partir para nosso problema.

Dada a parametrização que o exercício nos fornece, temos que

f (gamma (t)) = 2 (t + 1) (t - 1) + (t - 1)^2 = 2 (t^2 - 1) + t^2 - 2 t + 1

= 3 t^2 - 2 t - 1

E

||gamma^' (t)|| = sqrt(1 + 1) = sqrt(2)

Assim nossa integral pode ser reescrita como

sqrt(2) int_0^1 (3 t^2 - 2 t - 1) d t = sqrt(2) [t^3 - t^2 - t]_0^1 = sqrt(2) (- 1) = - sqrt(2)

Que nos dá o resultamos que estávamos procurando

Resposta

- sqrt(2)

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