Calcule ∫ C f d s , onde

b) f(x, y) = x^2 - y^2 e C é a circunferência x^2 + y^2 = 4 .

Passo 1

E aí, galerinha!! Vamo que vamo com o Responde Aí em mais um exercício!! :D

Para calcularmos a integral de linha, precisamos parametrizar a nossa função. Nossa curva, então, tem a forma:

Visto que ela representa uma circunferência, a parametrização vai ser dada através da substituição por funções trigonométricas, tal que:

x = ρ cos ⁡ t

E:

y = ρ s e n t

Onde ρ é o raio da circunferência e, então:

x = 2 cos ⁡ t y = 2 s e n t

Dessa forma, a curva pode ser escrita como:

C : σ t = 2 cos ⁡ t ,   2 s e n t ,   0 ≤ t ≤ 2 π

Assim, uma curva parametrizada terá sua integral dada por:

∫ C f d s = ∫ f σ t ∙ σ ' t d t

E a nossa curva terá o valor:

C : σ ' t = - 2 s e n t , 2 cos ⁡ t

Ou seja:

C :   σ ' t = - 2 s e n t 2 + 2 cos ⁡ t 2 = 4 s e n 2 t + 4 cos 2 ⁡ t

Juntando os termos semelhantes:

C :   σ ' t = 4 s e n 2 t + cos 2 ⁡ t

Vamos aplicar a identidade trigonométrica:

s e n 2 u + cos 2 ⁡ u = 1

Para obter:

C :   σ ' t = 4 = 2

Passo 2

Então, nossa integral pode ser escrita como:

∫ C f d s = ∫ C x 2 - y 2 d s

Ou seja:

∫ C x 2 - y 2 d s = ∫ 0 2 π 2 cos ⁡ t 2 - 2 s e n t 2 2 d t

⇒ 2 ∫ 0 2 π 4 cos 2 ⁡ t - 4 s e n 2 t d t = 8 ∫ 0 2 π cos 2 ⁡ t - s e n 2 t d t

Se usarmos as identidades trigonométricas:

cos ⁡ 2 u = cos 2 ⁡ u - s e n ² u

Nossa integral será dada por:

8 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t d t

E resultará em:

8 ∫ 0 2 π cos ⁡ 2 t d t = 8 s e n 2 t 2 | 2 π 0

⇒ 4 s e n 2 t | 2 π 0

Passo 3

Agora, substituindo os intervalos de integração:

4 s e n 2 t | 2 π 0 = 4 s e n 4 π - s e n 0

Teremos o resultado:

⇒ 4 0 - 0 = 0

Resposta

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