Enunciado
Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 7.10 - Ex. 33
Uma lamina plana tem a forma da região delimitada pelas curvas Sua densidade de massa no ponto P(x,y) é proporcional à distancia desse ponto ao eixo dos x. Calcular:
a) a massa da lâmina
b) o centro de massa.
c) O momento de inercia em relação ao eixo x
Passo 1
Para resolvermos questões relacionadas a centro de massa e momento de inercia precisamos da seguinte teoria :
Consideramos um sistema cuja massa total esta distribuída numa região do plano e não apenas num conjunto formado por um número finito de pontos, os conceitos de massa, centro de massa e momento são definidos por meio de integrais duplas. Por exemplo, consideremos uma lâmina fina tendo a forma de uma região D do plano e assumamos que a massa está distruibuida sobre essa lâmina com densidade (massa por unidade de área ) conhecida, isto é, existe uma função positiva definida em D tal que representa a massa por unidade de área em
Podemos calcular a massa total de D por
E o centro de massa é dado por
Para o calculo do momento de inercia da lâmina, segue que
Se L é uma reta no plano da lâmina D, seja a distancia do ponto (x,y) em D à reta L. Defini-se momento de inercia por
Onde é a densidade em cada ponto
Passo 2
Nossa figura tem a seguinte cara
Portanto, nossas varáveis estão definidas nos seguintes intervalos:
A densidade nos foi dita que é proporcional a distancia ao eixo x, logo:
a)
b)
c)
Resposta
a)
b)
c)