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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 9.4 - Ex. 29c

Calcular a integral do campo vetorial f → = ( - y , x ) ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:

(c) triângulo de vértices ( 1,1 ) , ( - 1,1 ) e ( 0 , - 1 )

Passo 1

Vamos definindo as retas no seu sentido anti-horário como é solicitado.

Os segmentos que ligam nosso triangulo mantendo o sentido é 1,1 à ( - 1,1 ) , depois seguindo para 0 , - 1 e por fim voltando para 1,1 .

Passo 2

Dos nossos segmentos, seguem as seguintes parametrizações respectivamente

r → 1 t = ( 1 - 2 t , 1 )

r → 2 t = - 1 + t , 1 - 2 t

r → 3 t = t , - 1 + 2 t

Onde em todos os caso teremos t ∈ 0,1

E assim ficamos com

f → r → 1 t ⋅ d r → 1 = - 1,1 - 2 t ⋅ - 2 d t , 0 = 2 d t

f → r → 2 t ⋅ d r → 2 = - 1 + 2 t , - 1 + t ⋅ d t , - 2 d t = d t

f → r → 3 t ⋅ d r → 3 = 1 - 2 t , t ⋅ d t , 2 d t = d t

Passo 3

Assim podemos finalmente correr para nossa integral

∫ C f → r → t ⋅ d r → = ∫ 0 1 2 + 1 + 1 d t = 4 t 0 1 = 4

Resposta

  1. 4
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Calcular a integral ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → é o campo vetorial dado, ao longo de qualquer caminho que une o ponto A ( 1,1 , 0 ) a B 1,2 - 1 . f → = 2 x 2 y + y 2 + z i ^ + 2 3 x 3 + 2 x y + z 2 j ^
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