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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 14

Calcular a integral indefinida.

int (d theta)/(4 - s e n theta + c o s theta)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Nesse caso aqui vai ficar

t = t g (theta)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n theta = (2 t)/(1 + t^2) ; cos theta = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d theta = (2 d t)/(1 + t^2)

Passo 2

Substituindo vai ficar assim:

int (((2 d t)/(1 + t^2)))/(4 - (2 t)/(1 + t^2) + (1 - t^2)/(1 + t^2))

Agora vamos dar uma ajeitadinha...

int ((2 d t)/(1 + t^2))/((4 + 4 t^2 - 2 t + 1 - t^2)/(1 + t^2))

= int (2 d t)/(3 t^2 - 2 t + 5)

= int ((2)/(3) d t)/(t^2 - (2)/(3) t + (5)/(3))

Vamos completar o quadrado ali embaixo agora:

= int ((2)/(3) d t)/((t - (1)/(3))^2 + (14)/(9))

Passo 3

Vamos resolver essa última integral aí agora:

(2)/(3) * ((1)/(sqrt(14)))/(3) a r c t g (t - (1)/(3))/((sqrt(14))/(3)) + C

Aí é só voltar para a variável inicial...

(2)/(sqrt(14)) a r c t g (3 t g (theta)/(2) - 1)/(sqrt(14)) + C

Prontinho! Essa é a integral😊

Resposta

(2)/(sqrt(14)) a r c t g (3 t g (theta)/(2) - 1)/(sqrt(14)) + C

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