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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 24

Calcular a integral indefinida.

int (1 - sqrt(1 + x + x^2 ) d x)/(2 x^2 sqrt(1 + x + x^2))

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem a > 0 . Nesse caso, a gente faz a substituição:

sqrt(1 + x + x^2) = sqrt(x^2) + t = x + t

Vamos desenvolver:

1 + x + x^2 = (x + t)^2

1 + x + x^2 = x^2 + 2 x t + t^2

1 + x = 2 x t + t^2

x (1 - 2 t) = t^2 - 1

x = (t^2 - 1)/(1 - 2 t)

E aí o d x fica:

d x = (- 2 t^2 + 2 t - 2)/((1 - 2 t)^2) d t

Passo 2

Pra substituir na integral, a gente precisa de:

x^2 = ((t^2 - 1)^2)/((1 - 2 t)^2)

A raiz que vai ser:

sqrt(1 + x + x^2) = ((- t^2 + t - 1)/(1 - 2 t))

Aí então vai ficar:

int (1 - ((- t^2 + t - 1)/(1 - 2 t)) (- 2 t^2 + 2 t - 2)/((1 - 2 t)^2) d t)/(2 ((t^2 - 1)^2)/((1 - 2 t)^2) ((- t^2 + t - 1)/(1 - 2 t)))

Olhando assim assusta né?! Mas calma, vamos desenvolver e simplificar...

Passo 3

int ((1 - 2 t + t^2 - t + 1)/(1 - 2 t) ((- 2 t^2 + 2 t - 2)/((1 - 2 t)^2) d t))/((2 (t^2 - 1)^2 (- t^2 + t - 1))/((1 - 2 t)^2 (1 - 2 t)))

= int ((t^2 - 3 t + 2) (2) (- t^2 + 1 - 1))/(2 (t^2 - 1)^2 (- t^2 + t - 1)) d t

= int (t^2 - 3 t + 2)/((t^2 - 1)^2)

Já tá bem melhor né? Vamos tentar fatorar isso agora...

= int ((t - 1) (t - 2))/((t - 1)^2 (t + 1)^2) d t

= int (t - 2)/((t - 1) (t + 1)^2) d t

Agora aqui a gente tem que fazer por frações parciais.

Passo 4

A gente tem que achar:

(t - 2)/((t - 1) (t + 1)^2) = (A)/(t - 1) + (B)/(t + 1) + (C)/((t + 1)^2)

Aí tiramos os denominadores...

t - 2 = A (t + 1)^2 + B (t - 1) (t + 1) + C ( t - 1 )

t - 2 = A t^2 + 2 A t + A + B t^2 - B + C t - C

t - 2 = t^2 (A + B) + t (2 A + C) + A - B - C

Pra isso ser igual, precisamos que:

{[[A + B = 0],[2 A + C = 1],[A - B - C = 2]])

Daqui a gente tira que: A = - B ; 2 A = 1 - C , aí substituindo na última temos:

A = - (1)/(4) , B = (1)/(4) e C = (3)/(2)

E aí reescrevemos nossa integral como:

int - (1)/(4 (t - 1)) + (1)/(4 (t + 1)) + (3)/(2 (t + 1)^2) d t

Passo 5

Agora a gente integra:

- (1)/(4) ln |t - 1| + (1)/(4) |t + 1| + (3)/(2) (- (1)/(t + 1)) + C

= (1)/(4) ln |(t + 1)/(t - 1)| - (3)/(2 (t + 1)) + C

Isso aí! Voltamos para a variável x agora (lembrando daquela substituição lá de cima...)

= (1)/(4) ln |(sqrt(1 + x + x^2) - x + 1)/(sqrt(1 + x + x^2) - x - 1)| - (3)/(2 (sqrt(1 + x + x^2) - x + 1)) + C

Prontinho! Essa é a integral😉

Resposta

(1)/(4) ln |(sqrt(1 + x + x^2) - x + 1)/(sqrt(1 + x + x^2) - x - 1)| - (3)/(2 (sqrt(1 + x + x^2) - x + 1)) + C

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