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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 8

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(3 + s e n 2 x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. A gente usa a substituição:

t = t g (x)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n x = (2 t)/(1 + t^2) ; cos x = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d x = (2 d t)/(1 + t^2)

Nesse caso, antes de fazer essa substituição, vamos fazer a seguinte:

u = 2 x

d u = 2 d x

Passo 2

Com a primeira substituição, fica assim:

int ((d u)/(2))/(3 + s e n u)

E agora a gente faz t = t g (u)/(2) ...

(1)/(2) int ((2 d t)/(1 + t^2))/(3 + (2 t)/(1 + t^2))

= (1)/(2) int ((2 d t)/(1 + t^2))/((3 + 3 t^2 + 1 + t^2)/(1 + t^2))

= int (d t)/(3 t^2 + 2 t + 3)

(completamos o quadrado)

= (1)/(3) int (d t)/((t + (1)/(3))^2 + (8)/(9))

Passo 3

Aí agora integrando, a gente fica com:

(1)/(3) * (3)/(sqrt(8)) a r c t g ((t + (1)/(3)))/((sqrt(8))/(3)) + C

= (1)/(sqrt(8)) a r c t g ((3 t + 1)/(sqrt(8))) + C

Passo 4

Vamos voltar pra variável u agora...

= (1)/(sqrt(8)) a r c t g ((3 t g ((u)/(2)) + 1))/(sqrt(8)) + C

E por fim voltamos para x ...

= (1)/(sqrt(8)) a r c t g ((3 t g (x + 1))/(sqrt(8))) + C

Ufaaa!! Agora acabou😉

Resposta

(1)/(sqrt(8)) a r c t g ((3 t g (x + 1))/(sqrt(8))) + C

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