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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 30

Calcular a integral indefinida.

int (d x)/(x sqrt(x^2 + x - 3))

Passo 1

Vamos lá, o trinômio de dentro do radical tem a > 0 . Nesse caso, a gente faz a substituição:

sqrt(x^2 + x - 3) = sqrt(x^2) + t = x + t

Vamos desenvolver:

x^2 + x - 3 = x^2 + 2 x t + t^2

x - 3 = 2 x t + t^2

x (1 - 2 t) = t^2 + 3

x = (t^2 + 3)/(1 - 2 t)

E aí o d x fica:

d x = (- 2 t^2 + 2 t + 6)/((1 - 2 t)^2) d t

Passo 2

Pra substituir na integral, a gente precisa de x e da raiz que vai ser:

sqrt(x^2 + x - 3) = (t^2 + 3)/(1 - 2 t) + t

= (- t^2 + t + 3)/(1 - 2 t)

Vamos montar a integral agora:

int ((- 2 t^2 + 2 t + 6)/((1 - 2 t)^2))/(((t^2 + 3)/(1 - 2 t)) ((- t^2 + t + 3)/(1 - 2 t))) d t

Vamos desenvolver e simplificar...

Passo 3

Simplificando...

int ((- 2 t^2 + 2 t + 6)/((t^2 + 3) (- t^2 + t + 3))) d t

= int (2)/(t^2 + 3) d t

Bem melhor né?! Essa aqui dá pra integrar direto. Vai ficar assim:

= 2 * (1)/(sqrt(3)) a r c t g (t)/(sqrt(3)) + C

A gente volta pra nossa variável x (só isolar o t lá na substituição do passo 1)

= (2)/(sqrt(3)) a r c t g ((sqrt(x^2 + x - 3) - x)/(sqrt(3))) + C

Prontinho! Esta é a nossa integralzinha😊

Resposta

(2)/(sqrt(3)) a r c t g ((sqrt(x^2 + x - 3) - x)/(sqrt(3))) + C

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