Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.

y = |x - 2| e y = 2 - (x - 2)^2

Passo 1

A região é essa:

Passo 2

Como a gente pode ver, a interseção acontece em x = 1 e x = 3 .

Só que olha só:

x - 2

x - 2 > 0 → x > 2

x - 2 < 0 → x < 2

Então para: x < 2 → 2 - x

E para x > 2 → x - 2 .

Ou seja, a gente vai ter que dividir a região, porque no x = 2 a função muda.

Aí a gente vai fazer duas regiões, uma indo de x = 1   a   x = 2 e outra indo de x = 2   a   x = 3 .

Passo 3

Vamos fazer a primeira:

A 1 = ∫ 1 2 2 - x - 2 2 - 2 - x d x

A 1 = ∫ 1 2 2 - x 2 + 4 x - 4 - 2 + x   d x

A 1 = ∫ 1 2 - x 2 + 5 x - 4   d x

A 1 = - x 3 3 + 5 x 2 2 - 4 x 1 2

A 1 =   - 8 3 + 20 2 - 8 + 1 3 - 5 2 + 4

A 1 =   - 7 3 + 15 2 - 4

A 1 = - 14 + 45 - 24 6

A 1 = 7 6

Pronto, essa é a primeira área. Mas... se você olhar na figura, vai ver que o 2 funciona como um eixo de simetria, ou seja, divide a área em duas regiões iguais. Então a área que vai de 2   a   3 é a mesma de A 1 .

A 1 = A 2

E com isso, a área total é:

A = 2 ∙ A 1

A = 2 ∙ 7 6

A = 7 3   u . a

Resposta

A = 7 3   u . a

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