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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo A- Ed: 6º - Capítulo 7.9 - Ex. 11

Calcular a integral indefinida.

int (e^x d x)/(4 s e n e^x - 3 cos e^x)

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Aqui primeiro a gente vai fazer a substituição:

u = e^x

e depois:

t = t g (u)/(2)

E com isso a gente tem que:

s e n u = (2 t)/(1 + t^2) ; cos u = (1 - t^2)/(1 + t^2) e d u = (2 d t)/(1 + t^2)

Passo 2

Fazendo a primeira substituição, a gente fica com essa integral aqui:

int (d u)/(4 s e n u - 3 cos u)

Agora a gente faz: t = t g (u)/(2) . Aí vai ficar:

int ((2 d t)/(1 + t^2))/(4 * (2 t)/(1 + t^2) - 3 * (1 - t^2)/(1 + t^2))

Vamos dar uma simplificada...

int ((2 d t)/(1 + t^2))/((8 t - 3 + 3 t^2)/(1 + t^2))

int (2 d t)/(3 t^2 + 8 t - 3)

= int ((2)/(3) d t)/(t^2 + (8 t)/(3) - 1)

= int ((2)/(3) d t)/((t + 3) (t - (1)/(3)))

Ok, vamos resolver essa integral aí agora...

Passo 3

Vamos lá, pra a gente resolver essa última integral, a gente vai ter que fazer frações parciais. Vamos fazer assim:

((2)/(3))/((t + 3) (t - (1)/(3))) = (A)/(t + 3) + (B)/(t - (1)/(3))

Aí a gente desenvolve:

(2)/(3) = A (t - (1)/(3)) + B (t + 3)

(2)/(3) = A t - (1)/(3) A + B t + 3 B

(2)/(3) = t (A + B) - (1)/(3) A + 3 B

Pra isso ser igual, a gente precisa que:

{[[A + B = 0],[- (1)/(3) A + 3 B = (2)/(3)]])

Ou seja, A = - (1)/(5) e B = (1)/(5) .

Aí a gente reescreve a integral...

Passo 4

Vai ficar assim:

int - (1)/(5 (t + 3)) + (1)/(5 (t - (1)/(3))) d t

Agora a gente integra:

= (1)/(5) int (1)/(t + 3) + (1)/(t - (1)/(3)) d t

= (1)/(5) (ln |t + 3| + ln |t - (1)/(3)|) + C

Agora a gente volta pra variável u :

(1)/(5) (ln |t g (u)/(2) + 3| + ln |t g (u)/(2) - (1)/(3)|)

E por fim, voltamos para a variável x :

(1)/(5) (ln |t g (e^x)/(2) + 3| + ln |t g (e^x)/(2) - (1)/(3)|) + C

Prontinho😉

Resposta

(1)/(5) (ln |t g (e^x)/(2) + 3| + ln |t g (e^x)/(2) - (1)/(3)|) + C

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