Calcular a integral indefinida.

∫ e x d x 4   s e n   e x - 3 cos ⁡ e x

Passo 1

Vamos lá, aqui a gente tem uma função racional de seno e cosseno.

O próprio livro dá o macete pra resolver esse tipo de integral. Aqui primeiro a gente vai fazer a substituição:

u = e x

e depois:

  t = t g u 2

E com isso a gente tem que:

s e n   u = 2 t 1 + t 2 ; cos ⁡ u = 1 - t 2 1 + t 2   e   d u = 2 d t 1 + t 2

Passo 2

Fazendo a primeira substituição, a gente fica com essa integral aqui:

∫ d u 4 s e n   u - 3 cos ⁡ u

Agora a gente faz: t = t g u 2 . Aí vai ficar:

∫ 2 d t 1 + t 2 4 ∙ 2 t 1 + t 2 - 3 ∙ 1 - t 2 1 + t 2

Vamos dar uma simplificada...

∫ 2 d t 1 + t 2 8 t - 3 + 3 t 2 1 + t 2

∫ 2 d t 3 t 2 + 8 t - 3

= ∫ 2 3 d t t 2 + 8 t 3 - 1

= ∫ 2 3 d t t + 3 t - 1 3

Ok, vamos resolver essa integral aí agora...

Passo 3

Vamos lá, pra a gente resolver essa última integral, a gente vai ter que fazer frações parciais. Vamos fazer assim:

2 3 t + 3 t - 1 3 = A t + 3 + B t - 1 3

Aí a gente desenvolve:

2 3 = A t - 1 3 + B t + 3

2 3 = A t - 1 3 A + B t + 3 B

2 3 = t A + B - 1 3 A + 3 B

Pra isso ser igual, a gente precisa que:

A + B = 0 - 1 3 A + 3 B = 2 3

Ou seja, A =   - 1 5 e   B = 1 5 .

Aí a gente reescreve a integral...

Passo 4

Vai ficar assim:

∫ - 1 5 t + 3 + 1 5 t - 1 3 d t

Agora a gente integra:

= 1 5 ∫ 1 t + 3 + 1 t - 1 3   d t

= 1 5 ln ⁡ t + 3 + ln ⁡ t - 1 3 + C

Agora a gente volta pra variável u :

1 5 ln ⁡ t g u 2 + 3 + ln ⁡ t g u 2 - 1 3  

E por fim, voltamos para a variável x :

1 5 ln ⁡ t g e x 2 + 3 + ln ⁡ t g e x 2 - 1 3 + C

Prontinho😉

Resposta

1 5 ln ⁡ t g e x 2 + 3 + ln ⁡ t g e x 2 - 1 3 + C

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