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Enunciado

Cálculo - Diva Flemming - Cálculo B - Ed: 2º - Capítulo 8.5 - Ex. 6

Calcular a integral tripla dada sobre a região indicada

∫ ∫ ∫ T x y d V

Onde T é a região delimitada por z   =   4 - x 2 ,   x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0   e   y + z = 8 .

Passo 1

Faala ae, beleza??

Então, lembra que na integral tripla o d V   é a mesma coisa que d x d y d z , então sabemos que as integrais triplas podem ser calculadas de forma análoga às integrais duplas, por meio de integrações sucessivas.

Para calcular as integrais duplas precisávamos ter noção da região de integração, aqui em integrais triplas vamos precisar da mesma noção.

Passo 2

Só para você entender melhor qual a nossa região, vamos colocar todas as equações no gráfico:

Nossa região é tudo que está dentro de todos esses gráficos, ok??

Nossa superfície T é delimitada por:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 8 - z

0 ≤ z ≤ 4 - x 2

Passo 3

Agora vamos deixar nossa integral na forma com as três variáveis e depois colocá-la na forma iterada :

∫ ∫ ∫ T x y d V =   ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 ∫ 0 8 - z x y d y d z d x = ∫ 0 2 ∫ 0 4 - x 2 x 8 - z 2 2 d z d x =

∫ 0 2 x 2 64 4 - x 2 - 8 4 - x 2 2 + 4 - x 2 3 3 d x

Vamos fazer a substituição u = 4 - x 2 → d u = - 2 x d x e os limites novos serão x = 0 → u = 4 e x = 2 → u = 0 :

∫ 4 0 x 2 64 u - 8 u 2 + u 3 3 d u - 2 x

- 1 4 ∫ 4 0 64 u - 8 u 2 + u 3 3 d u

1 4 ∫ 0 4 64 u - 8 u 2 + u 3 3 d u

Resolvendo a integral:

1 4 32 u 2 - 8 3 u 3 + u 4 12 0 4

1 4 32 16 - 8 3 64 + 256 12

32 4 - 2 3 64 + 64 12

128 - 128 3 + 16 3

384 - 128 + 16 3 =

= 272 3

Prontinho!!

Resposta

272 3

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Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.) x 2 + 2 y 2 ≤ z ≤ 2 a 2 - x 2a0 .
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W = {(x , y , z) in R^3,x^2 + y^2 + z^2 = 4 , x^2 + y^2 = 2 y} .