W = { x, y, z ∈ R^3 | x^2 + y^2 + z^2 ≤ 4, x^2 + y^2 ≤ 2y }

Passo 1

Vamos lá. Antes de começar a fazer umas continhas, vamos entender que sólido é esse. Temos a equação de uma esfera e a de um cilindro, teremos algo parecido com:

A esfera está sendo cortada por esse cilindro. A esfera tem raio 2, enquanto o cilindro tem o raio 1 dado por:

x^2 + y^2 = 2 y -> x^2 + y^2 - 2 y = 0 -> x^2 + (y - 1)^2 = 1

Passo 2

Okay, agora já sabemos algumas coisas a respeito desse sólido aí. Agora, para calcular o volume desse sólido, precisamos calcular a seguinte integral:

∭ d x d y d z

Mas não é tão interessante calcular essa integral dessa maneira, então vamos mudar essas variáveis, vamos mudar as variáveis para um sistema de coordenadas cilíndricas, utilizando:

{[[x = r cos theta],[y = r sen theta],[z = z]])

Temos que o jacobiano da mudança de coordenadas cilíndricas é dado por |J| = r . Assim, vamos calcular a seguinte integral:

∭ r d r d theta d z

Passo 3

Vamos agora encontrar os intervalos de integração que vamos utilizar.

Começando por r , teremos que:

x^2 + y^2 = 2 y -> r^2 sen^2 theta + r^2 cos^2 theta = 2 r sen theta

r^2 ( sen^2 theta + cos^2 theta ) = 2 r sen theta

r^2 = 2 r sen theta -> r = 2 sen theta

Ou seja, teremos que r irá variar de 0 <= r <= 2 sen theta .

Em z , teremos o seguinte:

x^2 + y^2 + z^2 = 4 -> r^2 sen^2 theta + r^2 cos^2 theta + z^2 = 4

r^2 (sen^2 theta + cos^2 theta) + z^2 = 4

z^2 = 4 - r^2 -> z = +- sqrt(4 - r^2)

Ou seja, teremos uma variação em z de - sqrt(4 - r^2) <= z <= sqrt(4 - r^2) .

Em theta , teremos uma variação de 0 <= theta <= pi . Isso é por causa que o cilindro não ocupa todo o plano cartesiano, apenas metade dele, não rotacionando por todo o plano. Podemos observar isso olhando de uma outra perspectiva, note:

Em vermelho temos o cilindro, dentro da esfera.

Passo 4

Agora vamos calcular a integral, temos então:

2 ∭_0^(sqrt(4 - r^2)) r d z d r d theta = 2 ∬_0^(2 sen theta) r * sqrt(4 - r^2) d r d theta = - (2)/(3) int_0^(pi) (4 - 4 sen^2 theta)^((3)/(2)) - (4)^((3)/(2)) d theta

Note que (4 - 4 sen^2 theta)^(3 // 2) = 4^(3 // 2) (1 - sen^2 theta)^(3 // 2) = 8 (cos^2 theta)^(3 // 2) = 8 cos^2 theta * | c o s theta | , assim:

- (2)/(3) int_0^(pi) 8 (cos^2 theta * |c o s theta| - 1) d theta = - (16)/(3) (int_0^((pi)/(2)) cos^3 theta d theta - int_0^((pi)/(2)) cos^3 theta d theta - int_0^((pi)/(2)) 1 d theta) = (16 pi)/(3) - (64)/(9)

Resposta

Daí, o volume do sólido é V o l u m e (W) = (16 pi)/(3) - (64)/(9) .

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