Enunciado
Cálculo - Diomara - Cálculo Diferencial e Integral de Funções de Várias Variáveis- Ed: 3º - Capítulo 5.11 - Ex. 2g
Passo 1
Vamos lá. Antes de começar a fazer umas continhas, vamos entender que sólido é esse. Temos a equação de uma esfera e a de um cilindro, teremos algo parecido com:
A esfera está sendo cortada por esse cilindro. A esfera tem raio 2, enquanto o cilindro tem o raio 1 dado por:
Passo 2
Okay, agora já sabemos algumas coisas a respeito desse sólido aí. Agora, para calcular o volume desse sólido, precisamos calcular a seguinte integral:
Mas não é tão interessante calcular essa integral dessa maneira, então vamos mudar essas variáveis, vamos mudar as variáveis para um sistema de coordenadas cilíndricas, utilizando:
Temos que o jacobiano da mudança de coordenadas cilíndricas é dado por . Assim, vamos calcular a seguinte integral:
Passo 3
Vamos agora encontrar os intervalos de integração que vamos utilizar.
Começando por , teremos que:
Ou seja, teremos que irá variar de
Em , teremos o seguinte:
Ou seja, teremos uma variação em de .
Em , teremos uma variação de . Isso é por causa que o cilindro não ocupa todo o plano cartesiano, apenas metade dele, não rotacionando por todo o plano. Podemos observar isso olhando de uma outra perspectiva, note:
Em vermelho temos o cilindro, dentro da esfera.
Passo 4
Agora vamos calcular a integral, temos então:
Note que , assim:
Resposta
Daí, o volume do sólido é .