Enunciado
Cálculo - Guidorizzi - Vol 3- Ed: 5º - Capítulo 5.4 - Ex. 2p
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)
Passo 1
O calculo de volume é dado por uma integral tripla. Mas será que não conseguimos fácilitar nossa integral a fim de resumir ela pra uma integral dupla e sofrer menos ?
Dica: Use o Geogebra para plotar o gráfico. Mas vamos mostrar que não existe a necessidade de faze-lo aqui, se soubermos a definição.
Passo 2
Fazemos assim, suponha que nunca desenhamos o nosso gráfico. E sabemos que por definição, o volume de qualquer superfície é dado por
Até aqui, só a definição. seria o nosso conjunto de pontos que definem nosso volume.
Entretanto perceba que já está definido, assim temos que nosso volume pode ser escrito como
Sabemos que a integral de é então
Onde é a projeção do nosso volume no plano . Importante nos sabermos, que sempre será isso. Eliminamos uma coordenada, o conjunto restante é a projeção do volume, naquelas coordenadas restantes.
Perceba que nossa projeção se encontra em
O que implica em
Que é nosso conjunto é
Passo 3
Então vamos fazer uma transformação em coordenada polares. Fazendo então e , temos que
Assim temos que
Enquanto nosso variamos dentro de todo nosso circulo, ou seja .
Por fim, não esqueça de calcular o Jacobiano. Segue o mesmo feito no exercício anterior, assim temos que e nossa integral
A integral em é e em vamos ter o seguinte