Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

x 2 ≤ z ≤ 1 - y e y ≥ 0

Passo 1

O calculo de volume é dado por uma integral tripla. Mas será que não conseguimos facilitar nossa integral a fim de resumir ela pra uma integral dupla e sofrer menos?

Vamos primeiro desenhar nosso problema e ver qual é a cara dele. Pra isso, vamos usar o Geogebra, um software matemático e gratuito.

Parece feio, é, mas o nosso gráfico é a junção dessas três superfície.

É verdade que às vezes é importante entender como é a nossa superfície, mas se as funções são dadas, precisamos perceber qual é a lógica por trás da integração. Que não é esse caso hahaha .

Passo 2

Fazemos assim, suponha que nunca desenhamos o nosso gráfico. E sabemos que por definição, o volume de qualquer superfície é dado por

V = ∭ B d x   d y   d z

Até aqui, só a definição. B seria o nosso conjunto de pontos que definem nosso volume.

Entretanto perceba que z já está definido, assim temos que nosso volume pode ser escrito como

V = ∬ R d x   d y ∫ x 2 1 - y d z

Sabemos que a integral de d z é z então

V = ∬ R 1 - y - x 2 d x   d y

Onde R é a projeção do nosso volume no plano x y . Importante nós sabermos, que sempre será isso. Eliminamos uma coordenada, o conjunto restante é a projeção do volume, naquelas coordenadas restantes.

Assim tome a vista da nossa imagem, por cima

Podemos ver que o que nos sobra é uma parábola que relaciona x e y

Pela capacidade da observação hahah temos que

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Enquanto x varia de - 1   à 1 .

Então temos que

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - y - x 2 d y   d x  

Passo 3

Agora é resolver. A primeira integral fica

V = ∫ - 1 1 y - y 2 2 - x 2 y 0 1 - x 2 d x

Eu sei, é chato, fazer essas distribuições, mas confia, não tem outra forma

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 - 1 - x 2 2 2 - x 2 1 - x 2 d x

Aahhhhhhh

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 - 1 2 + x 2 - x 4 2 - x 2 + x 4 d x

E finalmente podemos escrever

V = ∫ - 1 1 1 2 - x 2 + x 4 2 d x

E agora é só integrar

V = x 2 - 1 3 x 3 + 1 10 x 5 - 1 1 = 1 2 - 1 3 + 1 10 - - 1 2 + 1 3 - 1 10 = 1 - 2 3 + 1 5

E agora, finalmente, queria agradecer a todos que me apoiaram até aqui e dizer do fundo do meu coração que

V = 15 - 10 + 3 15 = 8 15

O livro apresenta como resposta 4 / 15 , mas esse que vos ajudou acredita que o guidorizzi ta doidão hahaha

Resposta

V = 8 15

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Calculer) int int int_B (y - x) * d x * d y * d z onde B é o conjunto 4 = x + y = 8 , (1)/(x) = y = (2)/(x) , y = x e 0 = z = ((x * y)^((1)/(3)))/(sqrt(x + y)) .
Calculep) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto 4 * x^2 + 9 * y^2 + z^2 = 4 , z = 0 .
Calculeo) int int int_B 2 * z * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 + z^2 = 4 , z = 0 .
Calculei) int int int_B x * d x * d y * d z onde B é o conjunto x^2 + y^2 = 4 , x = 0 e x + y = z = x + y + 1 .
Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)h) x 2 + y 2 ≤ z ≤ 4 ⋅ x + 2 ⋅ y .