Enunciado

Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.

b) t sen ⁡ 1 t i → + cos ⁡ t j → ,   t ≠ 0 j → ,       t = 0 em t = 0 .

Passo 1

Galera, partiu calcular esse limite! Vamos analisar para t = 0 .

lim t → 0 ⁡ f → t = lim t → 0 ⁡ t sen ⁡ 1 t i → + cos ⁡ t j →

Vamos dar uma manipulada algébrica aqui. Vamos escrever t sin ⁡ 1 t como sen ⁡ 1 t 1 t .

lim t → 0 ⁡ f → t = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 1 t 1 t i → + cos ⁡ t j →

No primeiro limite podemos trocar x = 1 / t , de forma que

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 1 t 1 t = lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ x x

Como - 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 , então

- 1 x ≤ sen ⁡ x x < 1 x

E ao fazermos o teorema do confronto, tomando o limite de x → ∞ (que é a mesma coisa que t → 0 ), o limite do meio vai para 0 . Assim

lim t → 0 ⁡ f → t = 0 i → + j → = f → ( 0 )

Resposta

lim t → 0 ⁡ f → t = j → e é contínua em t = 0 .

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(a) lim t → π ⁡ [ cos ⁡ t i → + t 2 j → - 5 k → ]
Calcular os seguintes limites de funções vetoriais de uma variável.(b) lim t → - 2 ⁡ t 3 + 4 t 2 + 4 t t + 2 t - 3i → + j →
Determine a velocidade, a aceleração e a velocidade escalar da partícula cuja função posição é dada. Esboce a trajetória da partícula e desenhe os vetores velocidade e aceleração para os valores de t
Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t. r t =t 3 + 3 t , t 2 + 1,3 t + 4 ,t = 1
Nos Exercícios 1-4, r(t) é a posição de uma partícula no plano xy no instante t. Encontre uma equação em x e y cujo gráfico seja a trajetória da partícula. Em seguida, encontre os vetores velocidade e