Calcular o limite e analisar a continuidade das funções vetoriais, nos pontos indicados.

b) t sen ⁡ 1 t i → + cos ⁡ t j → ,   t ≠ 0 j → ,       t = 0 em t = 0 .

Passo 1

Galera, partiu calcular esse limite! Vamos analisar para t = 0 .

lim t → 0 ⁡ f → t = lim t → 0 ⁡ t sen ⁡ 1 t i → + cos ⁡ t j →

Vamos dar uma manipulada algébrica aqui. Vamos escrever t sin ⁡ 1 t como sen ⁡ 1 t 1 t .

lim t → 0 ⁡ f → t = lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 1 t 1 t i → + cos ⁡ t j →

No primeiro limite podemos trocar x = 1 / t , de forma que

lim t → 0 ⁡ sen ⁡ 1 t 1 t = lim x → ∞ ⁡ sen ⁡ x x

Como - 1 ≤ sen ⁡ x ≤ 1 , então

- 1 x ≤ sen ⁡ x x < 1 x

E ao fazermos o teorema do confronto, tomando o limite de x → ∞ (que é a mesma coisa que t → 0 ), o limite do meio vai para 0 . Assim

lim t → 0 ⁡ f → t = 0 i → + j → = f → ( 0 )

Resposta

lim t → 0 ⁡ f → t = j → e é contínua em t = 0 .

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