Determine o vetor tangente unitário T(t) no ponto com valor de parâmetro dado t.

r(t) = < t^3 + 3t, t^2 + 1,3t + 4 >, t = 1

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... o enunciado nos deu a seguinte função vetorial:

r t = < t 3 + 3 t , t 2 + 1,3 t + 4 >

Queremos determinar o vetor tangente unitário T ( t ) no ponto t = 1 .

Para isso, temos que saber que o vetor tangente unitário T ( t ) é dado por:

T t = r ' t r ' t

Onde r ' t é a derivada de r t . No denominador a gente tem o módulo dessa derivada (que também é um vetor).

Depois que descobrirmos isso, basta substituirmos o valor de t dado.

Passo 2

Temos que para derivar uma curva parametrizada deveremos derivar cada termo:

r ' t = 3 t 2 + 3 , 2 t , 3

Dessa forma, temos

r ' 1 = < 6,2 , 3 >

A norma do vetor encontrado é

( 6,2 , 3 ) = 6 2 + 2 2 + 3 2 = 7

Dividindo o vetor r ’ ( 0 ) pela sua norma temos um vetor unitário de mesma direção e sentido de r ’ :

T 0 = r ' 0 r ' 0

T 0 = 1 7 6,2 , 3

T 0 = 6 7 , 2 7 , 3 7

Resposta

O vetor procurado é:

T 0 = 6 7 , 2 7 , 3 7

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